Harnack-Ungleichung

In der Mathematik geben Harnack-Ungleichungen Abschätzungen für die oberen Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen. Im klassischen Fall der Wärmeleitungsgleichung beschränken sie die Diffusion der Wärme. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Axel Harnack.

Klassische Harnack-Ungleichung

Aussage

Es sei $u\colon M\times \left[0,T\right]\rightarrow [0,\infty )$ eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u$,

wobei $\Delta$ den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von $M$ abhängende Konstante $C$, so dass

$\sup _{x\in M}u(x,t)\leq C\inf _{x\in M}u(x,t)$

für alle $0\leq t\leq T$ gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante $C$ in Abhängigkeit von der Geometrie von $M$ ist ein schwieriges Problem.

Harmonische Funktionen

Insbesondere gilt $\sup _{x\in M}u(x)\leq C\inf _{x\in M}u(x)$ für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen $u\colon M\rightarrow [0,\infty )$.

Beispiel

Sei $M=B(x_{0},R)\subset \mathbb {R} ^{n}$ der Ball mit Radius $R$ und Mittelpunkt $x_{0}$ im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

$u\colon B(x_{0},R)\rightarrow [0,\infty )$

die Ungleichung

$\displaystyle {{1-(r/R) \over [1+(r/R)]^{n-1}}u(x_{0})\leq u(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}u(x_{0})}$

mit $r=\parallel x-x_{0}\parallel$ für alle $x\in B(x_{0},R)$.

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für $M=B(x_{0},R)$ mit $C={\frac {1+(r/R)}{[1-(r/R)]^{n-1}}}{\frac {[1+(r/R)]^{n-1}}{1-(r/R)}}$.

Differentielle Harnack-Ungleichung

Sei $M$ eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand, dann gilt für jede positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung

${\frac {\partial _{t}u}{u}}-{\frac {\mid \nabla u\mid ^{2}}{u^{2}}}+{\frac {n}{2t}}\geq 0.$

Aus dieser Ungleichung kann man häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.

Literatur

• Axel Harnack: Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene. V. G. Teubner, Leipzig 1887.
• Peter Li; Shing-Tung Yau: On the parabolic kernel of the Schrödinger operator. Acta Math. 156 (1986), Nr. 3–4, S. 153–201.
• Reto Müller: Differential Harnack inequalities and the Ricci flow (= EMS Series of Lectures in Mathematics.) 1. Auflage. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2006, ISBN 3-03719-030-2.