Kubische Anisotropie

Die kubische Anisotropie, gehörend zum gleichnamigen Kristallsystem, ist die einfachste Art der Richtungsabhängigkeit eines Materials. Es gibt sie in zwei Formen:

Die einen Materialien ändern ihr Kraft-Verformungs-Verhalten nicht, wenn sie um 90° um bestimmte, aufeinander senkrecht stehende Achsen, die Orthotropieachsen, gedreht werden (im Bild schwarz, Kochsalzstruktur).
Die anderen Materialien zeigen identisches Kraft-Verformungs-Verhalten, wenn sie um 120° um die Raumdiagonalen (eine davon im Bild rot) oder um 180° um die Orthotropieachsen gedreht werden^[1]^:363 (Diamantstruktur, siehe Animation rechts).

Das dargestellte kubische Kristall wird durch zwei verschiedene Transformationen auf sich abgebildet: Drehungen um 90° um eine der schwarz gezeichneten Raumrichtungen oder 120°-Drehungen um eine Raumdiagonale (rot). Nach solchen Drehungen weist die Probe eines kubisch anisotropen Materials unverändertes Verhalten auf.

Beide Materialgruppen zeigen im Bezugssystem parallel zu diesen Achsen bei kleinen Verformungen keine Kopplung zwischen Normaldehnungen und Schubverzerrungen und identisches Verhalten. Außerhalb dieses linearen Bereichs treten jedoch Abweichungen auf und sie zeigen auch abweichende elektromechanische Eigenschaften. Für die Beschreibung des linear elastischen Verhaltens werden drei Parameter gebraucht; für die anderen #Thermo- und Elektromechanische Eigenschaften werden in der ersten Gruppe weitere drei in der zweiten weitere vier Parameter benötigt.

Den speziellen Fall, dass ein Material (an einem Teilchen) unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, wird als Isotropie bezeichnet. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, wird dagegen als Anisotropie bezeichnet. Die kubische Anisotropie ist ein Spezialfall der Orthotropie und enthält ihrerseits die Isotropie als Sonderfall. Ein nicht-isotropes, kubisch anisotropes Material ist nicht transversal Isotrop. (Transversale Isotropie ist ein anderer Spezialfall der Orthotropie und enthält ihrerseits auch die Isotropie als Sonderfall.)

Viele Metalle und deren Salze sind kubisch anisotrop, z. B. Halbleitermetalle, die in der Halbleitertechnologie der Elektronik eine wichtige Rolle spielen, Alkalimetalle und deren Salze.

Materialtheoretische Beschreibung

Symmetriegruppen

Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials ist. Diese Drehungen bilden die Symmetriegruppe des kubisch anisotropen Materials.^[1] Die kubische Anisotropie besitzt – wie eingangs erwähnt – zwei Symmetriegruppen.

Die eine Gruppe beinhaltet alle 90°-Drehungen um drei bestimmte, zueinander senkrechte Achsen, die Orthotropieachsen genannt und mit Einheitsvektoren ê_1,2,3 bezeichnet werden. Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials veranschaulichen drei Experimente an einem Teilchen:

Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende Verformung.
Im zweiten Experiment dreht man das Material zunächst nacheinander um beliebige Orthotropieachsen – und zwar jeweils um 90°. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei kubisch anisotropem Material der ersten Gruppe wird man im zweiten Experiment dieselbe Verformung messen wie im ersten. Und zwar auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten. Die hier aufgebrachten Drehungen sind Elemente der Menge g_R1.

Die andere Symmetriegruppe beinhaltet 120°-Drehungen um die Raumdiagonalen, und 180°-Drehungen um die Orthotropieachsen aus der Menge g_R2. Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials zeigt sich in einem

dritten Experiment, wenn das Teilchen beispielsweise um 120° um die (111)-Raumdiagonale oder um 180° um eine Orthotropieachse gedreht wird. Bringt man wieder dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung, dann wird bei kubisch anisotropem Material der zweiten Gruppe in diesem Experiment auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten dieselbe Verformung gemessen wie im ersten.

Die Abhängigkeit von den Drehungen des Materials erkennt man, wenn man im zweiten und dritten Experiment nicht um Vielfache von 30° dreht. Wenn nicht der Spezialfall Isotropie vorliegt, wird nun immer eine andere Verformung beobachtet wie im ersten Experiment. Eine Abweichung wird man auch feststellen, wenn man im zweiten Experiment die Drehungen aus g_R2 anwendet und bis in den nicht-linear elastischen Bereich belastet.

Die angesprochenen Drehungen werden in der Kontinuumsmechanik durch orthogonale Tensoren Q repräsentiert. Eine Symmetriegruppe g_R besteht aus denjenigen Transformationen, die die Formänderungsenergie w invariant lassen. Mathematisch wird das mit dem Verzerrungstensor E durch

\mathbf {Q} \in g_{R}\quad \leftrightarrow \quad w(\mathbf {Q\cdot E\cdot Q} ^{\top })=w(\mathbf {E} )

für alle E

ausgedrückt.^[1]^:379 Darin bedeutet "·" das Matrizenprodukt und das hochgestellte "⊤" eine Transponierung. Mit Q gehört auch -Q zur Symmetriegruppe, was durch Hinzufügen des negativen Einheitstensors -1, der eine Punktspiegelung repräsentiert, zu g_R berücksichtigt werden kann. Die Symmetriegruppen werden durch die unten angegebenen Erzeugenden bestimmt, mit denen sämtliche Elemente der Gruppe durch Matrizenmultiplikation berechnet werden können.

Die Symmetriegruppen der kubisch anisotropen Materialien sind^[1]^:383^[2]^:33

bei Kochsalzstruktur: $g_{R1}=\left\{-\mathbf {1} ,\mathbf {Q} _{1}^{\frac {\pi }{2}},\mathbf {Q} _{2}^{\frac {\pi }{2}},\mathbf {Q} _{3}^{\frac {\pi }{2}}\right\}=\left\{-\mathbf {1} ,\mathbf {Q} _{1}^{\frac {\pi }{2}},\mathbf {Q} _{2}^{\pi },\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}\right\}$ , Gruppenordnung=48
bei Diamantstruktur: $g_{R2}=\left\{-\mathbf {1} ,\mathbf {Q} _{1}^{\pi },\mathbf {Q} _{2}^{\pi },\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}\right\}$ , Gruppenordnung=24

Darin steht $\mathbf {Q} _{k}^{\alpha }$ für den orthogonalen Tensor, der mit dem Winkel α in Radiant um die k-Achse dreht. Die p-Achse ist die Raumdiagonale, die parallel zur Summe der #Orthotropieachsen ê₁+ê₂+ê₃ ist und es gilt: $\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}=\mathbf {Q} _{2}^{\frac {\pi }{2}}\cdot \mathbf {Q} _{3}^{\frac {\pi }{2}}$ . In g_R2 sind alle 120°-Drehungen um alle Diagonalen ±ê₁±ê₂±ê₃ und 180°-Drehungen um jede der Orthotropieachsen, jedoch keine 90°-Drehung um eine der Orthotropieachsen enthalten. g_R2 ist eine echte Untergruppe von g_R1.

Invarianten

In der isotropen Hyperelastizität hängt die Formänderungsenergie von den Hauptinvarianten I_1,2,3 des Verzerrungstensors E ab:

w(E)=w(I₁, I₂, I₃)

Die analoge Darstellung der Anisotropie erfordert, dass ein komplettes System von skalarwertigen Funktionen bekannt ist, die unter allen Transformationen in g_R1,2 invariant sind.^[1]^:390 Bei der kubischen Anisotropie gibt es zu den beiden Symmetriegruppen zwei verschiedene Mengen von Invarianten, wobei die Invarianten in g_R1 sämtlich auch in g_R2 invariant sind. Daher ist die kubische Anisotropie mit Kochsalzstruktur (g_R1) materialtheoretisch ein Spezialfall derjenigen mit diamantstruktur (g_R2). Das zeigt sich auch in den #anderen physikalischen Eigenschaften. In der linearen Elastizität führen beide Symmetriegruppen auf gleiche Darstellungen, weil Differenzen erst bei Produkten dritter und höherer Ordnung auftreten.^[1]^:395 In diesen Produkten gibt es auch solche, die Normal- und Schubverzerrungen kombinieren, was eine Zug-Scher-Kopplung bei großen Verformungen bewirkt.

Invarianten der Symmetriegruppe g_R1^[1]^:383
E₁₁+E₂₂+E₃₃,
E₁₁E₂₂+E₁₁E₃₃+E₂₂E₃₃,	E₁₂²+E₁₃²+E₂₃²,
E₁₁E₂₂E₃₃,	E₁₂E₁₃E₂₃,
E₁₁E₁₂²+E₂₂E₂₃²+E₃₃E₁₃²+E₁₁E₁₃²+E₂₂E₁₂²+E₃₃E₂₃²,
E₁₁E₂₂E₁₂²+E₁₁E₃₃E₁₃²+E₂₂E₃₃E₂₃²,
E₁₂²E₁₃²+E₁₂²E₂₃²+E₁₃²E₂₃²,
E₁₁E₁₂²E₁₃²+E₂₂E₁₂²E₂₃²+E₃₃E₁₃²E₂₃²

Diese Invarianten sind auch in der zweiten Gruppe invariant, denn die grün geschriebene in g_R1 oben kommt zwar in g_R2 nicht vor, ist dort aber als Summe der in g_R2 unten grün geschriebenen darstellbar.

Invarianten der Symmetriegruppe g_R2^[1]^:383
E₁₁+E₂₂+E₃₃,
E₁₁E₂₂+E₁₁E₃₃+E₂₂E₃₃,	E₁₂²+E₁₃²+E₂₃²,
E₁₁E₂₂E₃₃,	E₁₂E₁₃E₂₃,
E₁₁E₁₂²+E₂₂E₂₃²+E₃₃E₁₃²,	E₁₁E₁₃²+E₂₂E₁₂²+E₃₃E₂₃²,
E₁₁E₂₂²+E₂₂E₃₃²+E₁₁E₃₃²,	E₁₂²E₁₃²+E₁₂²E₂₃²+E₁₃²E₂₃²,
E₁₁E₂₂E₁₂²+E₁₁E₃₃E₁₃²+E₂₂E₃₃E₂₃²,	E₁₁E₁₂²E₁₃²+E₂₂E₁₂²E₂₃²+E₃₃E₁₃²E₂₃²,
E₁₁E₂₂E₁₃²+E₁₁E₃₃E₂₃²+E₂₂E₃₃E₁₂²,	E₁₁E₁₂²E₂₃²+E₂₂E₁₃²E₂₃²+E₃₃E₁₂²E₁₃²,
E₁₂²E₁₃⁴+E₁₃²E₂₃⁴+E₂₃²E₁₂⁴

In den Auflistungen ist $E_{ij}:={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {E} \cdot {\hat {e}}_{j}$ mit den #Orthotropieachsen ê_1,2,3. Die schwarz und grün geschriebenen Invarianten entsprechen einander in g_R1 und g_R2 und die blau geschriebenen kommen in g_R2 hinzu.

Strukturvariable

Die Invarianten können mit Strukturvariablen M dargestellt werden, bei denen

\mathbf {Q} \in g_{R}\quad \leftrightarrow \quad w(\mathbf {Q\cdot E\cdot Q} ^{\top },\mathbf {Q\cdot M\cdot Q} ^{\top })=w(\mathbf {E} )

für alle E

gilt. Ihr Name rührt daher, dass die Variablen auf diese Weise die interne Struktur des Materials repräsentieren. Dieser Ansatz hat den Vorteil koordinatenunabhängig zu sein.^[1]^:386f Die Strukturvariablen sind in g_R invariant^[2]^:38, siehe Euklidische Transformation:

\mathbf {Q} \in g_{R}\quad \rightarrow \quad \mathbf {M} =\mathbf {Q\cdot M\cdot Q} ^{\top }

In der kubischen Anisotropie sind die Strukturvariablen Tensoren vierter Stufe $\mathbb {M}$ , für die die Transformationsregel

\mathbf {Q} \in g_{R}\quad \rightarrow \quad \mathbb {M} =\mathbb {Q:M:Q} ^{\top },\quad \mathbb {Q} =(\mathbf {Q\otimes Q} )^{\stackrel {23}{\top }}=\sum _{ijkl=1}^{3}Q_{ik}Q_{jl}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l}

lautet, siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Spezielle Tensoren vierter Stufe. Darin ist Q_ij=ê_i · Q · ê_j und ⊗ das dyadische Produkt. Die Strukturvariable in der kubischen Anisotropie der ersten Gruppe ist^[2]^:68

\mathbb {M} =\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}

In g_R1 ist der Tensor vierter Stufe $\mathbb {M}$ wegen Q · ê_i=ê_j∈{±ê₁, ±ê₂, ±ê₃} invariant, denn

\mathbb {Q:M:Q} ^{\top }=\sum _{i=1}^{3}(\mathbf {Q} \cdot {\hat {e}}_{i})\otimes (\mathbf {Q} \cdot {\hat {e}}_{i})\otimes (\mathbf {Q} \cdot {\hat {e}}_{i})\otimes (\mathbf {Q} \cdot {\hat {e}}_{i})=\sum _{j=1}^{3}{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}=\mathbb {M}

Mit der Strukturvariablen werden die Tensoren

\mathbf {A} :=\mathbb {M} :\mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} :=\mathbb {M} :\mathbf {E} ^{2}

erzeugt, mit deren Produkten

Sp(E), Sp(E²), Sp(E³), Sp(A³), Sp(B²), Sp(B³), Sp(E·A), Sp(E²·A), Sp(E·A²), Sp(E²·A²), Sp(E·B), Sp(E²·B), Sp(E·B²), Sp(E²·B²), Sp(A·B), Sp(A²·B), Sp(A·B²), Sp(A²·B²), Sp(E·A·B)

die #Invarianten des vorigen Abschnitts dargestellt werden können. Sp bildet die Spur, die eine Hauptinvariante eines Tensors zweiter Stufe ist.

In der zweiten Gruppe werden zwei Tensoren vierter Stufe gebraucht, die in g_R2 invariant sind:^[2]^:69

{\begin{aligned}\mathbb {M} _{1}:=&\sum _{(i,j)\in {\mathcal {D}}}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}-{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i},\quad {\mathcal {D}}=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\\\mathbb {M} _{2}:=&\sum _{(i,j,k)\in {\mathcal {T}}}\left[{\hat {e}}_{i}\right]\otimes ({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}+{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{j}),\quad {\mathcal {T}}=\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\end{aligned}}

Darin ist $\left[{\hat {e}}_{i}\right]$ der dem Vektor ${\hat {e}}_{i}$ zugeordnete schiefsymmetrische Tensor, der im ê_1,2,3-System mit dem Kronecker-Delta δ die Darstellung

\left[{\hat {e}}_{i}\right]:={\begin{pmatrix}0&-\delta _{i3}&\delta _{i2}\\\delta _{i3}&0&-\delta _{i1}\\-\delta _{i2}&\delta _{i1}&0\end{pmatrix}}\;\leftrightarrow \;\left[{\hat {e}}_{i}\right]\cdot {\vec {v}}={\hat {e}}_{i}\times {\vec {v}}\quad \forall \,{\vec {v}}

besitzt, siehe Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix.

Mit den Strukturvariablen $\mathbb {M} _{1,2}$ werden $\mathbf {A} :=\mathbb {M} _{1}:\mathbf {E}$ und $\mathbf {W} :=\mathbb {M} _{2}:\mathbf {E}$ und die Spuren^[2]^:69

Sp(E), Sp(E²), Sp(E³), Sp(A²), Sp(A³), Sp(E·A²), Sp(E²·A), Sp(E²·A²), Sp(E·W²), Sp(E²·W²), Sp(E²·W²·E·W)

berechnet. Aus diesen Kennzahlen sowie

Sp(E⁴), Sp(A⁴), Sp(W⁴), Sp(E·A·E·A), Sp(E·W·E·W), Sp(A·W·E·W), Sp(W·A·E·W)

lassen sich die #Invarianten der zweiten Symmetriegruppe im vorhergehenden Abschnitt ableiten.

Kubische Anisotropie in der linearen Elastizität

Dieser Abschnitt befasst sich mit den linearen mechanischen Eigenschaften kubisch anisotroper Stoffe. Merkmale wie Kristallklassen, Wärmeausdehnung oder Piezoelektrizität sind Gegenstand des nächsten Abschnitts #Thermo- und Elektromechanische Eigenschaften.

Materialgesetz

Gegeben sind zwei Tensoren zweiter Stufe ${\boldsymbol {\sigma }}$ und ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ mit 3×3-Koeffizienten $\sigma _{ij}$ bzw. $\varepsilon _{ij}$ . Der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen diesen Koeffizienten gibt, ist:

\sigma _{ij}=\sum _{k,l=1}^{3}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,,\quad i,j=1,2,3\,.

Darin sind $C_{ijkl}$ 81 Koeffizienten mit denen die neun Komponenten $\varepsilon _{kl}$ auf neun Komponenten $\sigma _{ij}$ abgebildet werden. In der linearen Elastizitätstheorie, in der ${\boldsymbol {\sigma }}$ der symmetrische Spannungstensor und ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ der symmetrische Verzerrungstensor ist, reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Tensor-Komponenten auf sechs, so das nur 36 Koeffizienten $C_{ijkl}$ unabhängig sind (wegen $C_{ijkl}=C_{jikl}=C_{ijlk}$ ). Im Fall der Hyperelastizität liegt noch die Symmetrie $C_{ijkl}=C_{klij}$ vor, so dass dann nur noch 21 Koeffizienten unabhängig sind. Diesen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen kann man nun in Voigt’scher Notation auch als Matrizengleichung schreiben:

\sigma _{i}=\sum _{j=1}^{6}C_{ij}\varepsilon _{j}^{\text{v}},i=1,\dots ,6\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\&&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\&&&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\&{\text{sym.}}&&&C_{55}&C_{56}\\&&&&&C_{66}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\2\varepsilon _{4}\\2\varepsilon _{5}\\2\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

Hier wurde mittels der Zuordnung 11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5 und 12→6 die Anzahl der Indizes halbiert. Die Steifigkeitsmatrix C mit den 21 unabhängigen Komponenten C_ij repräsentiert den Elastizitätstensor des Materials.

Elastizitätsgesetz und Anisotropiefaktor

Ein Material ist kubisch anisotrop linear elastisch, wenn eine Orthonormalbasis existiert, die Orthotropieachsen ê_1,2,3, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form (mit nur drei unabhängigen Einträgen) annimmt:

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\&&C_{11}&0&0&0\\&&&C_{44}&0&0\\&{\text{sym.}}&&&C_{44}&0\\&&&&&C_{44}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\2\varepsilon _{4}\\2\varepsilon _{5}\\2\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

Im Sonderfall der Isotropie sind nur zwei der drei Einträge unabhängig und es gilt mit dem Schubmodul G und der zweiten Lamé-Konstanten λ:

C_{11}=2G+\lambda \,,\quad C_{12}=\lambda \,,\quad C_{44}=G\quad \rightarrow \quad {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}={\frac {2G}{2G+\lambda -\lambda }}=1

Der Bruch definiert den dimensionslosen Anisotropiefaktor nach Zener:

A={\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}\,.

Der Anisotropiefaktor ist bei kubischer Anisotropie von eins verschieden, wie die folgende Tabelle zeigt.^[3]^:111

Stoff	C₁₁ [MPa]	C₁₂ [MPa]	C₄₄ [MPa]	A [-]
Halbleiter (Diamantstruktur)
Diamant	1.020.000	250.000	492.000	1,3
Silizium	166.000	64.000	80.000	1,6
Germanium	130.000	49.000	67.000	1,7
Alkalimetalle (Kubisch raumzentriertes Gitter)
Lithium	13.500	11.400	8.800	8,4
Natrium	7.400	6.200	4.200	7,2
Kalium	3.700	3.100	1.900	6,7
Chloride der Alkalimetalle (Kochsalzstruktur)
Natriumchlorid	48.500	12.500	12.700	0,7
Kaliumchlorid	40.500	6.600	6.300	0,37
Rubidiumchlorid	36.300	6.200	4.700	0,31

Wenn der Anisotropiefaktor kleiner als eins ist, dann sind die Kristalle entlang der (100)-Würfelkanten am steifesten. Wenn der Anisotropiefaktor größer als eins ist, dann sind die Kristalle entlang der (111)-Raumdiagonale am steifesten^[3]^:111. Weitere kubisch kristallisierende, chemische Stoffe können in der Kategorie:Kubisches Kristallsystem nachgeschlagen werden.

Die Nachgiebigkeitskoeffizienten berechnen sich aus:^[4]^:147

{\begin{aligned}S_{11}=&{\frac {C_{11}+C_{12}}{(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12})}}\\S_{12}=&{\frac {-C_{12}}{(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12})}}\\S_{44}=&{\frac {1}{C_{44}}}\end{aligned}}

Materialparameter

Die kubische Anisotropie ist ein Spezialfall der Orthotropie, die bei linearer Elastizität neun Materialparameter besitzt (drei Elastizitätsmoduln, drei Querkontraktionszahlen bei Zug in Richtung einer Orthotropieachse sowie drei Schubmoduln bei Scherung in Ebenen senkrecht zu den Orthotropieachsen). In der kubischen Elastizität sind die Elastizitätsmoduln, die Querkontraktionszahlen und die Schubmoduln jeweils gleich, sodass nur drei unabhängige Parameter

ein Elastizitätsmodul,
eine Querkontraktionszahl und
ein Schubmodul

ausreichen, das Material zu beschreiben. Die Dimension des Elastizitätsmoduls E und des Schubmoduls G ist Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahl ν dimensionslos ist. Die Querkontraktionszahl beschreibt, wie sich eine entlang einer Richtung – z. B. der 1-Richtung – gezogene Materialprobe quer dazu – z. B. in 2-Richtung – kontrahiert.

Damit lautet das Elastizitätsgesetz bei kubisch anisotroper, linearer Elastizität:

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\2\varepsilon _{4}\\2\varepsilon _{5}\\2\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G}}&0&0\\&{\textsf {sym}}&&&{\frac {1}{G}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G}}\end{bmatrix}} _{=:S}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}

Durch Invertierung der Nachgiebigkeitsmatrix S bekommt man die Steifigkeitsmatrix C:

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\\\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\&{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &0&0&0\\&&{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\\&&&G&0&0\\&{\text{sym}}&&&G&0\\&&&&&G\end{bmatrix}} _{=:C}\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\2\varepsilon _{4}\\2\varepsilon _{5}\\2\varepsilon _{6}\\\end{bmatrix}}

Die Nachgiebigkeitsmatrix S und Steifigkeitsmatrix C sind symmetrisch und an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt. Die zweite Lamé-Konstante hängt über

\lambda ={\frac {\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}

mit dem Elastizitätsmodul und der Querkontraktionszahl zusammen. Der Anisotropiefaktor kann mit diesen Materialparametern ausgedrückt werden:

A={\frac {2G(1+\nu )}{E}}={\frac {2\nu G}{(1-2\nu )\lambda }}\,.

Isotropie stellt sich ein, wenn A = 1 oder gleichbedeutend

G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\quad {\textsf {oder}}\quad G={\frac {1-2\nu }{2\nu }}\lambda \quad {\textsf {oder}}\quad 2G+\lambda ={\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda

gilt.

Richtungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls

Elastizitätsmodul in MPa als Funktion der Messrichtung
Kochsalz
Silizium

Der Elastizitätsmodul ist definiert als das Verhältnis der Spannung σ zur Dehnung ε bei reinem Zug:

E:={\frac {\sigma }{\varepsilon }}

Bei anisotropem Werkstoff ist der Modul richtungsabhängig und ergibt sich in Richtung des Einheitsvektors ${\hat {n}}$ aus

E_{n}:={\frac {\sigma _{n}}{\varepsilon _{n}}}:={\frac {{\hat {n}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{{\hat {n}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\hat {n}}}}

Bei reinem Zug in Richtung ${\hat {n}}$ ist ${\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{n}{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}$ oder in voigtscher Notation

[{\boldsymbol {\sigma }}]=\sigma _{n}{\begin{pmatrix}n_{1}^{2}&n_{2}^{2}&n_{3}^{2}&n_{2}n_{3}&n_{1}n_{3}&n_{1}n_{2}\end{pmatrix}}^{\top }

mit den Komponenten n_1,2,3 des Richtungsvektors. Mit der Nachgiebigkeitsmatrix S werden daraus die Verzerrungen und der Verzerrungstensor berechnet mit dem Ergebnis^[4]^:145

E_{n}={\frac {\sigma _{n}}{{\hat {n}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\hat {n}}}}={\frac {E}{1+2(1+\nu )(n_{1}^{2}n_{2}^{2}+n_{1}^{2}n_{3}^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}){\frac {1-A}{A}}}}

Die Richtungsverteilung bei Natriumchlorid und Silizium zeigt sich wie in den Bildern dargestellt mit den Materialparametern im Abschnitt #Elastizitätsgesetz und Anisotropiefaktor. Wie dort bereits angemerkt, besitzen die Kristalle entlang der (100)-Würfelkanten die höchste Steifigkeit, wenn der Anisotropiefaktor A, wie bei Natriumchlorid, kleiner als eins ist. Dasselbe gilt entlang der (111)-Raumdiagonale, wenn der Anisotropiefaktor größer als eins ist, wie etwa bei Silizium. Bei A=1 stellt sich Isotropie ein, wo der Elastizitätsmodul richtungsunabhängig ist und eine kugelförmige Verteilung zeigen würde. Bei Zug in Richtung der Orthotropieachsen ist E_n=E.

Stabilitätskriterien

Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen positiv definit sein müssen. Dies führt auf die Bedingungen:

Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und
die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:^[5]^:331

{\begin{array}{l}E,G>0\\\nu >-1\\1-2\nu >0\end{array}}

Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, setzt das Material einer hydrostatischen Kompression zunehmend Widerstand entgegen.

Messung der Materialparameter

Die Messung der Materialparameter ist im kubisch anisotropen Material schwieriger als beim isotropen, denn es kann nicht sichergestellt werden, dass im Probekörper eine der #Orthotropieachsen genau in Zugrichtung liegt. Eine Möglichkeit dem zu begegnen ist, Versuche an mehreren Proben zu machen und die Materialparameter, insbesondere die Achsausrichtungen, so zu bestimmen, dass Modellrechnungen die Messergebnisse möglichst gut wiedergeben.^[4]^:158ff.

Spezielle Belastungszustände

Ebener Spannungszustand ESZ

Wenn die #Orthotropieachsen ê_1,2 parallel zu den Vorzugsrichtungen einer dünnen ebenen Scheibe ausgerichtet sind, dann stellt sich in ihr bei Belastung in der Scheibenebene ein ebener Spannungszustand (ESZ) ein. In ihm ist zumindest näherungsweise σ₁₃=σ₂₃=σ₃₃=0, woraus sich zunächst

$\varepsilon _{33}=-{\frac {\nu }{1-\nu }}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})=-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{11}+\sigma _{22})$

ableitet. Die Elastizitätsbeziehung reduziert sich auf

{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\tau _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}&{\frac {\nu E}{1-\nu ^{2}}}&\\{\frac {\nu E}{1-\nu ^{2}}}&{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}&\\&&2G\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

bzw.

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&\\{\frac {\nu }{E}}&{\frac {1}{E}}&\\&&{\frac {1}{2G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\tau _{12}\end{pmatrix}}

Der richtungsabhängige Elastizitätsmodul E_n ist gegenüber dem dreidimensionalen Kontinuum unverändert (in der Formel ist lediglich n₃=0 zu setzen.)

Ebener Verzerrungszustand EVZ

Wenn die #Orthotropieachsen ê_1,2 senkrecht zu der Achse eines hinreichend langen Zylinders ausgerichtet sind, dann stellt sich in der 1-2-Ebene bei axialer Belastung des Zylinders ein ebener Verzerrungszustand (EVZ) ein. In ihm ist zumindest näherungsweise ε₁₃=ε₂₃=ε₃₃=0, woraus sich zunächst

$\sigma _{33}=\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})=\lambda (\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})$

berechnet, mit λ wie im Abschnitt #Materialparameter. Die Elastizitätsbeziehung reduziert sich auf

{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\tau _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &\lambda &0\\\lambda &{\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda &0\\0&0&2G\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

bzw.

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}&-{\frac {\nu (1+\nu )}{E}}&0\\-{\frac {\nu (1+\nu )}{E}}&{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}&0\\0&0&{\frac {1}{2G}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\tau _{12}\end{pmatrix}}

Der richtungsabhängige Elastizitätsmodul verändert sich zu

E_{n}={\frac {E}{(1+\nu )(1-\nu +2n_{1}^{2}n_{2}^{2}{\frac {1-A}{A}})}}

Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität

Der hydrostatische Spannungszustand stellt sich in einem allseitigem Druck ausgesetzten Körper ein. Wegen des auf der Erdoberfläche allgegenwärtigen Luftdrucks, ist dieser Zustand dort überall präsent. Wenn ein Körper aus kompressiblem isotropem oder kubisch anisotropen Material zusammengedrückt wird, dann schrumpft er in allen Raumrichtungen gleichermaßen.

Das ist am einfachsten mit der Nachgiebigkeitsmatrix S nachzuweisen:

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\2\varepsilon _{4}\\2\varepsilon _{5}\\2\varepsilon _{6}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&{\frac {1}{E}}&-{\frac {\nu }{E}}&0&0&0\\&&{\frac {1}{E}}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G}}&0&0\\&{\textsf {sym}}&&&{\frac {1}{G}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-p\\-p\\-p\\0\\0\\0\end{bmatrix}}=-p{\frac {1-2\nu }{E}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}

Darin ist p der Druck. Die Kompression wird von den oberen drei Einträgen im rechten Vektor repräsentiert und wenn die Summe gemäß

{\frac {3(1-2\nu )}{E}}=0

verschwindet, was bei ν=½ eintritt, dann ist das Material in erster Näherung inkompressibel, siehe Deviator#Deviatoren und Volumendehnung. Ist die Summe nicht null, dann ergibt sich der Kompressionsmodul K aus dem Kehrwert:

{\begin{aligned}&\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}=\varepsilon _{\mathrm {v} }={\frac {\mathrm {v} -V}{V}}=-p{\frac {3(1-2\nu )}{E}}\\&\rightarrow K:=-{\frac {\mathrm {d} p}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {v} }{V}}}={\frac {E}{3(1-2\nu )}}\end{aligned}}

Darin ist V das Volumen bei p=0 und v dasjenige beim aktuellen Druck. Der Kompressionsmodul stimmt bei kubischer Anisotropie mit dem bei vollständiger Isotropie überein.

Beim kubisch anisotropen, linear elastischen Werkstoff kommt es bei allseitigem Druck zu keiner Scherung und das Material kontrahiert in allen Raumrichtungen gleich, ähnlich wie das ein isotropes Material tut. Die Kontraktion in einer Richtung bei allseitigem Druck gibt die lineare Kompressibilität

\beta =-{\frac {{\hat {n}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\hat {n}}}{p}}={\hat {n}}\cdot {\frac {1-2\nu }{E}}\mathbf {1} \cdot {\hat {n}}={\frac {1-2\nu }{E}}

an, die bei linear elastischer kubischer Anisotropie richtungsunabhängig ist.^[4]^:145f Hier ist 1 der Einheitstensor.

Herleitung des Materialgesetzes

Von den Invarianten zur Steifigkeitsmatrix

In der Hyperelastizität ergeben sich die Spannungen aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach den Dehnungen. Damit die Spannungen linear in den Dehnungen sind, muss demnach die Formänderungsenergie quadratisch in den Dehnungen sein, denn nur dann ist ihre Ableitung linear. Unter Verwendung der #Invarianten kann der Ansatz^[1]^:392

{\begin{aligned}w({\boldsymbol {\varepsilon }}):=&{\frac {a}{2}}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})^{2}+(b-a)(\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\varepsilon _{33})+2c(\varepsilon _{12}^{2}+\varepsilon _{13}^{2}+\varepsilon _{23}^{2})\end{aligned}}

mit 3 Parametern a, b und c gemacht werden. Nicht-linear hyperelastisches Verhalten kann modelliert werden, indem die Parameter a, b und c durch Funktionen der Invarianten ersetzt werden und/oder die Invarianten höherer Ordnung berücksichtigt werden, siehe Hyperelastizität#Orthotrope Hyperelastizität.^[1]^:380

Um die Formänderungsenergie nach ε ableiten zu können, müssen die Komponenten ε_ij als Funktion des Tensors ε ausgedrückt werden. Dies gelingt mit der Darstellung des Frobenius-Skalarprodukts „:“ als Spur:

\mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Spur} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )

Darin bedeutet „·“ das Matrizenprodukt und das hochgestellte ⊤ eine Transponierung. Mit der Abkürzung K_jk=½(ê_j⊗ê_k+ê_k⊗ê_j) für die symmetrisierten dyadischen Produkte ⊗ der #Orthotropieachsen ist dann^[6]

\mathbf {K} _{ij}:{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{ij}+\varepsilon _{ji})=\varepsilon _{ij}\quad \rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} \varepsilon _{ij}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\mathbf {K} _{ij}

Aus dem Ansatz der Formänderungsenergie berechnen sich die Spannungen zu

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})(\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{33})\\&+(b-a)[(\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\mathbf {K} _{11}+(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{33})\mathbf {K} _{22}+(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})\mathbf {K} _{33}]\\&+4c(\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{23}+\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{13}+\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{12})\\=&a(\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{22}+\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{33})\\&+b[(\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\mathbf {K} _{11}+(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{33})\mathbf {K} _{22}+(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})\mathbf {K} _{33}]\\&+4c(\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{23}+\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{13}+\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{12})\end{aligned}}

oder in Voigt-Notation im ê_1,2,3-System

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\varepsilon _{11}+b\varepsilon _{22}+b\varepsilon _{33}\\b\varepsilon _{11}+a\varepsilon _{22}+b\varepsilon _{33}\\b(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})+a\varepsilon _{33}\\2c\varepsilon _{23}\\2c\varepsilon _{13}\\2c\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&b&0&0&0\\b&a&b&0&0&0\\b&b&a&0&0&0\\0&0&0&c&0&0\\0&0&0&0&c&0\\0&0&0&0&0&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Die Parameter lassen sich den Einträgen in der #Steifigkeitsmatrix direkt zuordnen:

a={\frac {1-\nu }{\nu }}\lambda ,\,b=\lambda ,\,c=G

Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen liefert den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor 4. Stufe:

{\begin{aligned}\mathbb {C} :={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a(\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{33})\\&+b[(\mathbf {K} _{11}\otimes (\mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{33})+\mathbf {K} _{22}\otimes (\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{33})+\mathbf {K} _{33}\otimes (\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})]\\&+4c(\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{23}+\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{13}+\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{12})\end{aligned}}

Die Voigt-Notation der Tensoren K_ij mit i≠j besitzen den Eintrag ½ an einer Stelle und sonst nur nullen. Mit den Definitionen V_i=K_ii für i=1,2,3 und V₄=2K₂₃, V₅=2K₁₃ sowie V₆=2K₁₂, deren Koeffizienten nur Nullen und Einsen sind, entsteht eine Darstellung des Elastizitätstensors, an der seine Voigt-Notation direkt ablesbar ist:

${\begin{array}{lrcccccccccc}\mathbb {C} =&(&a\mathbf {V} _{1}&+&b\mathbf {V} _{2}&+&b\mathbf {V} _{3}&&&&&)\otimes \mathbf {V} _{1}\\&+(&b\mathbf {V} _{1}&+&a\mathbf {V} _{2}&+&b\mathbf {V} _{3}&&&&&)\otimes \mathbf {V} _{2}\\&+(&b\mathbf {V} _{1}&+&b\mathbf {V} _{2}&+&a\mathbf {V} _{3}&&&&&)\otimes \mathbf {V} _{3}\\&+(&&&&&&&c\mathbf {V} _{4}&&&)\otimes \mathbf {V} _{4}\\&+(&&&&&&&&c\mathbf {V} _{5}&&)\otimes \mathbf {V} _{5}\\&+(&&&&&&&&&c\mathbf {V} _{6}&)\otimes \mathbf {V} _{6}\end{array}}$

Der Elastizitätstensor und seine Inverse lassen sich mit

{\begin{aligned}\mathbf {1} =&\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{33},\\\mathbf {E} =&(\mathbb {K} +2\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{23}+2\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{13}+2\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{12}):\mathbf {E} \\\mathbb {K} =&\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{22}+\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{33}\end{aligned}}

und dem Einheitstensor vierter Stufe $\mathbb {I}$ sowie den #Materialparametern umformen zu

{\begin{aligned}\mathbb {C} =&2G\mathbb {I} +\lambda \mathbf {1} \otimes \mathbf {1} +\left({\frac {1-2\nu }{\nu }}\lambda -2G\right)\mathbb {K} \\\mathbb {S} =&\mathbb {C} ^{-1}={\frac {1}{2G}}\mathbb {I} -{\frac {\nu }{E}}\mathbf {1} \otimes \mathbf {1} +\left({\frac {1+\nu }{E}}-{\frac {1}{2G}}\right)\mathbb {K} \end{aligned}}

Gründe für die Besetztheit

In diesem Abschnitt wird die Frage geklärt, warum die Steifigkeitsmatrix nur an den gegebenen Stellen besetzt ist. In der Steifigkeitsmatrix können 21 unabhängige Materialkonstanten auftreten; im Fall der kubischen Anisotropie sind es drei. Warum das so ist, wird nachfolgend dargestellt.

Das maßgebliche Element der Symmetriegruppen ist die 120-Grad-Drehung um die Raumdiagonale ${\hat {p}}={\sqrt {\frac {1}{3}}}({\hat {e}}_{1}+{\hat {e}}_{2}+{\hat {e}}_{3})$ im System der #Orthotropieachsen ê_1,2,3. Diese Drehung ist Element beider #Symmetriegruppen g_R1 und g_R2; ihr entspricht der orthogonale Tensor

\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}={\begin{pmatrix}0&&1\\1&0&\\&1&0\end{pmatrix}}

der im Orthotropieachsensystem mit einer Drehmatrix identifiziert werden kann. Bei kubischer Anisotropie gilt:

w({\boldsymbol {\varepsilon }})=w\left(\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}\top }\right)

Die Transformation kann in Voigt’scher Notation mit einer Matrix R ausgeführt werden:

[{\boldsymbol {\varepsilon }}']:=\left[\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}\top }\right]=R[{\boldsymbol {\varepsilon }}],\quad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}},\quad [{\boldsymbol {\varepsilon }}']={\begin{bmatrix}\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\end{bmatrix}}

mit

R={\begin{bmatrix}Q_{11}^{2}&Q_{12}^{2}&Q_{13}^{2}&{\frac {1}{2}}q_{1213}&{\frac {1}{2}}q_{1113}&{\frac {1}{2}}q_{1112}\\Q_{21}^{2}&Q_{22}^{2}&Q_{23}^{2}&{\frac {1}{2}}q_{2223}&{\frac {1}{2}}q_{2123}&{\frac {1}{2}}q_{2122}\\Q_{31}^{2}&Q_{32}^{2}&Q_{33}^{2}&{\frac {1}{2}}q_{3233}&{\frac {1}{2}}q_{3133}&{\frac {1}{2}}q_{3132}\\q_{2131}&q_{2232}&q_{2333}&q_{2233}&q_{2133}&q_{2132}\\q_{1131}&q_{1232}&q_{1333}&q_{1233}&q_{1133}&q_{1132}\\q_{1121}&q_{1222}&q_{1323}&q_{1223}&q_{1123}&q_{1122}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\end{bmatrix}}

und der Abkürzung $q_{ijkl}:=Q_{ij}Q_{kl}+Q_{il}Q_{kj}$ mit den Komponenten Q_ij des Tensors $\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}$ . Obige Bedingung an die Formänderungsenergie lautet mit diesen Matrizen

w({\boldsymbol {\varepsilon }})={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\varepsilon }}]^{\top }C[{\boldsymbol {\varepsilon }}]=w({\boldsymbol {\varepsilon }}')={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\varepsilon }}']^{\top }C[{\boldsymbol {\varepsilon }}']={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\varepsilon }}]^{\top }R^{\top }CR[{\boldsymbol {\varepsilon }}]\quad \rightarrow \quad C':=R^{\top }CR=C

mit der Steifigkeitsmatrix

C={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\&&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\&&&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\&{\text{sym}}&&&C_{55}&C_{56}\\&&&&&C_{66}\end{bmatrix}}

und ihrer Transformierten

C'=R^{\top }CR={\begin{bmatrix}C_{22}&C_{23}&C_{12}&C_{25}&C_{26}&C_{24}\\&C_{33}&C_{13}&C_{35}&C_{36}&C_{34}\\&&C_{11}&C_{15}&C_{16}&C_{14}\\&&&C_{55}&C_{56}&C_{45}\\&{\text{sym}}&&&C_{66}&C_{46}\\&&&&&C_{44}\end{bmatrix}}

C=C′ ist komponentenweise zu erfüllen und daher

C₃₃=C₂₂=C₁₁, C₂₃=C₁₃=C₁₂, C₃₆=C₂₅=C₁₄, C₃₄=C₂₆=C₁₅, C₃₅=C₂₄=C₁₆, C₅₆=C₄₆=C₄₅, C₆₆=C₅₅=C₄₄

mit der Konsequenz

C=C'={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\&C_{11}&C_{12}&C_{16}&C_{14}&C_{15}\\&&C_{11}&C_{15}&C_{16}&C_{14}\\&&&C_{44}&C_{45}&C_{45}\\&{\text{sym}}&&&C_{44}&C_{45}\\&&&&&C_{44}\end{bmatrix}}

Die 180-Grad-Drehungen um die #Orthotropieachsen werden bei der Orthotropie betrachtet und erfordern zusätzlich

C₁₄=C₁₅=C₁₆=C₄₅=0

was die dreiparametrige #Steifigkeitsmatrix zur Folge hat.

Thermo- und Elektromechanische Eigenschaften

Das kubische Kristallsystem umfasst die fünf Kristallklassen (Punktgruppen), die in der Tabelle aufgeführt sind.

Nr

Hermann-Mauguin-Symbol

Symmetriegruppe^[2]^:33

Physikalische Eigenschaften^[4]^:301

28

23

\left\{\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}},\mathbf {Q} _{1}^{\pi },\mathbf {Q} _{2}^{\pi }\right\}

	σ₁	σ₂	σ₃	σ₄	σ₅	σ₆	E₁	E₂	E₃	𝚫T
ε₁	S₁₁	S₁₂	S₁₂	·	·	·	·	·	·	α₁
ε₂	S₁₂	S₁₁	S₁₂	·	·	·	·	·	·	α₁
ε₃	S₁₂	S₁₂	S₁₁	·	·	·	·	·	·	α₁
ε₄	·	·	·	S₄₄	·	·	d₁₄	·	·	·
ε₅	·	·	·	·	S₄₄	·	·	d₁₄	·	·
ε₆	·	·	·	·	·	S₄₄	·	·	d₁₄	·
D₁	·	·	·	d₁₄	·	·	κ₁₁	·	·	·
D₂	·	·	·	·	d₁₄	·	·	κ₁₁	·	·
D₃	·	·	·	·	·	d₁₄	·	·	κ₁₁	·
𝚫s	α₁	α₁	α₁	·	·	·	·	·	·	c_σ/T

29

m3

g_{R2}=\left\{\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}},\mathbf {Q} _{1}^{\pi },\mathbf {Q} _{2}^{\pi },-\mathbf {1} \right\}

30

432

\left\{\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}},\mathbf {Q} _{1}^{\frac {\pi }{2}},\mathbf {Q} _{2}^{\pi }\right\}

	σ₁	σ₂	σ₃	σ₄	σ₅	σ₆	E₁	E₂	E₃	𝚫T
ε₁	S₁₁	S₁₂	S₁₂	·	·	·	·	·	·	α₁
ε₂	S₁₂	S₁₁	S₁₂	·	·	·	·	·	·	α₁
ε₃	S₁₂	S₁₂	S₁₁	·	·	·	·	·	·	α₁
ε₄	·	·	·	S₄₄	·	·	·	·	·	·
ε₅	·	·	·	·	S₄₄	·	·	·	·	·
ε₆	·	·	·	·	·	S₄₄	·	·	·	·
D₁	·	·	·	·	·	·	κ₁₁	·	·	·
D₂	·	·	·	·	·	·	·	κ₁₁	·	·
D₃	·	·	·	·	·	·	·	·	κ₁₁	·
𝚫s	α₁	α₁	α₁	·	·	·	·	·	·	c_σ/T

31

43m, 432

\left\{\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}},-\mathbf {Q} _{1}^{\frac {\pi }{2}},\mathbf {Q} _{2}^{\pi }\right\}

32

m3m

g_{R1}=\left\{-\mathbf {1} ,\mathbf {Q} _{1}^{\frac {\pi }{2}},\mathbf {Q} _{2}^{\pi },\mathbf {Q} _{p}^{2{\frac {\pi }{3}}}\right\}

Die Symmetriegruppen 29 und 32 gehören zu den elf mechanischen Symmetriegruppen oder Anisotropietypen, bei denen die Lage der Atome oder Moleküle in einer Elementarzelle, die Symmetrien des Kristallgitters widerspiegelt, und sie enthalten die Punktspiegelung -1 explizit.^[2]^:35

Die dritte Spalte zeigt die Nachgiebigkeitsmatrix der physikalischen Eigenschaften, die hier nur die linearen Effekte einer Theorie erster Ordnung erfassen^[4]^{:170ff, 301}. Der zehnparametrige Zustandsvektor enthält die mechanischen Spannungen σ_k, die Elektrische Feldstärke E_j und die Temperaturdifferenz 𝚫T. Sie verursachen Dehnungen ε_k, dielektrische Verschiebungen D_j und Entropieänderungen 𝚫s, was hier klein geschrieben wird, um eine Verwechselung mit den Koeffizienten der Nachgiebigkeitsmatrix zu vermeiden. Die Matrix gibt die Kopplungsgrößen an, wobei die Punkte · für nullen stehen. In g_R2 beschreiben sieben in g_R1 sechs Parameter alle hier aufgeführten, linearen Zusammenhänge.

Die Gleichungen werden unten in Voigtscher Indexnotation, geltend im #Orthotropieachsensystem, und die Einsteinsche Summenkonvention ausnutzend angeschrieben. Bei den piezoelektrischen Verzerrungskoeffizienten d_ik, den Ausdehnungskoeffizient α_k, den Verzerrungen ε_k und Spannungen σ_k sind für k die Zuordnungen 1→11, 2→22, 3→33, 4→23, 5→13, 6→12 zu beachten.^[4]^:180

Kontinuumsmechanik: Die Nachgiebigkeitsmatrix mit Koeffizienten S_jk vermittelt zwischen Spannungen und Dehnungen, wie im Abschnitt #Kubische Anisotropie in der linearen Elastizität dargelegt: ε_j=S_jkσ_k
Inverser Piezoeffekt: Anlegen einer elektrischen Spannung bewirkt eine Verformung: ε_k=E_jd_jk gemäß den piezoelektrischen Verzerrungskoeffizienten d_jk.
Thermische Ausdehnung: Eine Temperaturerhöhung lässt das Material sich in allen Raumrichtungen ausdehnen: ε_k=α_k𝚫T^[4]^:176
Piezoeffekt: Eine mechanische Spannung erzeugt eine dielektrische Verschiebung D_j=d_jkσ_k
Elektrostatik: Eine angelegte elektrischen Feldstärke E_i bewirkt mit der Permittivität κ_ij eine dielektrische Verschiebung D_i=κ_ijE_j.
Pyroelektrischer Effekt: Eine Temperaturänderung 𝚫T bewirkt eine dielektrische Verschiebung D_i=p_i𝚫T mit der pyroelektrischen Konstante p_i, die hier null ist, d. h. der Effekt tritt bei kubischer Anisotropie nicht auf.
Thermodynamik: Eine Entropieänderung wird durch mechanische und elektrische Spannungen sowie eine Temperaturänderung erzeugt: 𝚫s=α_kσ_k+p_iE_i+(c_σ/T)𝚫T, wobei hier p_i=0 und c_σ die spezifische Wärmekapazität bei konstanter mechanischer Spannung ist.^[4]^:176

Siehe auch

Hookesches Gesetz, für isotrope lineare Elastizität,
Monokline Anisotropie
Hexagonale Anisotropie
Tetragonale Anisotropie
Orthotropie
Transversale Isotropie
Materialmodell
Spezielle lineare Gruppe

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k P. Haupt: Kontinuumsmechanik und Materialtheorie. 2002.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Nikolas Apel: Ansätze zur Beschreibung des anisotropen Materialverhaltens bei finiten elastischen und plastischen Verformungen. Theorie und Numerik. 2004.
↑ ^a ^b R. E. Newnham: Eigenschaften von Materialien. 2005.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ J.F. Nye: Physikalische Eigenschaften von Kristallen. Ihre Representation durch Tensoren and Matrizen. 1985.
↑ H. Altenbach: Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer, 2012, ISBN 3-642-24119-0.
↑ Die ij-Komponente eines beliebigen Tensors zweiter Stufe T im #Orthotropieachsensystem ist
${\begin{aligned}T_{ij}:=&{\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{j}={\hat {e}}_{j}\cdot ({\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} )\\=&\mathrm {Spur} ({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} ):=({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {T} \end{aligned}}$
Die Fréchet-Ableitung hiervon nach T ist der beschränkte lineare Operator ${\mathcal {A}}$ der – sofern er existiert – in allen Richtungen H dem Gâteaux-Differential entspricht, also
${\begin{aligned}{\mathcal {A}}(\mathbf {H} )=&\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}[({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )]\right|_{s=0}\\=&({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} \quad \forall \;\mathbf {H} \end{aligned}}$
Darin ist $s\in \mathbb {R}$ und der lineare Operator ist das Skalarprodukt mit ${\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$ . Hier ist $\mathbf {T} ={\boldsymbol {\varepsilon }}$ ein symmetrischer Tensor, dessen Differential H auch symmetrisch ist. Beim Skalarprodukt mit diesem trägt nur der symmetrische Anteil etwas bei:
$({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} ={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}):\mathbf {H} =\mathbf {K} _{ij}:\mathbf {H}$
wo nun H auch unsymmetrisch sein kann. Dann wird auch
${\mathcal {A}}={\frac {\partial T_{ij}}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {K} _{ij}$
geschrieben.

Literatur

J. Betten: Kontinuumsmechanik – Elastisches und inelastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe. Springer, 2012, ISBN 3-642-62645-9.
Nikolas Apel: Ansätze zur Beschreibung des anisotropen Materialverhaltens bei finiten elastischen und plastischen Verformungen. Theorie und Numerik. Hrsg.: Universität Stuttgart. OPUS – Online Publikationen der Universität Stuttgart, Stuttgart 2004, ISBN 3-937859-00-4 (englisch, researchgate.net [abgerufen am 28. Oktober 2021] Originaltitel: Approaches to the Description of Anisotropic Material Behaviour at Finite Elastic and Plastic Deformations – Theory and Numerics.).
P. Haupt: Kontinuumsmechanik und Materialtheorie. Springer, 2002, ISBN 978-3-642-07718-0, doi:10.1007/978-3-662-04775-0 (englisch, Originaltitel: Continuum Mechanics and Theory of Materials.).
R. E. Newnham: Eigenschaften von Materialien. Oxford University Press, 2005, ISBN 978-0-19-852075-7 (englisch, Originaltitel: Properties of materials.).
J.F. Nye: Physikalische Eigenschaften von Kristallen. Ihre Representation durch Tensoren and Matrizen. Oxford University Press, 1985, ISBN 978-0-19-851165-6 (englisch, Originaltitel: Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices.).

[haupt-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k P. Haupt: Kontinuumsmechanik und Materialtheorie. 2002.

[apel-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Nikolas Apel: Ansätze zur Beschreibung des anisotropen Materialverhaltens bei finiten elastischen und plastischen Verformungen. Theorie und Numerik. 2004.

[newnham-3] R. E. Newnham: Eigenschaften von Materialien. 2005.

[nye-4] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ J.F. Nye: Physikalische Eigenschaften von Kristallen. Ihre Representation durch Tensoren and Matrizen. 1985.

[5] H. Altenbach: Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer, 2012, ISBN 3-642-24119-0.

[Frechet-6] Die ij-Komponente eines beliebigen Tensors zweiter Stufe T im #Orthotropieachsensystem ist
${\begin{aligned}T_{ij}:=&{\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {e}}_{j}={\hat {e}}_{j}\cdot ({\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} )\\=&\mathrm {Spur} ({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} ):=({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {T} \end{aligned}}$
Die Fréchet-Ableitung hiervon nach T ist der beschränkte lineare Operator ${\mathcal {A}}$ der – sofern er existiert – in allen Richtungen H dem Gâteaux-Differential entspricht, also
${\begin{aligned}{\mathcal {A}}(\mathbf {H} )=&\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}[({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )]\right|_{s=0}\\=&({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} \quad \forall \;\mathbf {H} \end{aligned}}$
Darin ist $s\in \mathbb {R}$ und der lineare Operator ist das Skalarprodukt mit ${\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$ . Hier ist $\mathbf {T} ={\boldsymbol {\varepsilon }}$ ein symmetrischer Tensor, dessen Differential H auch symmetrisch ist. Beim Skalarprodukt mit diesem trägt nur der symmetrische Anteil etwas bei:
$({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}):\mathbf {H} ={\frac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i}):\mathbf {H} =\mathbf {K} _{ij}:\mathbf {H}$
wo nun H auch unsymmetrisch sein kann. Dann wird auch
${\mathcal {A}}={\frac {\partial T_{ij}}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {K} _{ij}$
geschrieben.

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