Lage-Skalen-Familie

In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie bzw. Lage- und Skalenfamilie eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.

Definition

Sei $Z$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_{Z}$, und für $\mu \in \mathbb {R}$ und $\sigma >0$ sei

$X=\mu +\sigma Z$.

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von $Z$ induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter $\mu$ und Skalenparameter $\sigma$. Für $\mu =0$ spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für $\sigma =1$ spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter $\mu$.

Eigenschaften

Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen

Die Verteilungsfunktion $F_{X}$ der Zufallsvariablen $X$ kann durch die Verteilungsfunktion $F_{Z}$ der Zufallsvariablen $X$ ausgedrückt werden. Es gilt

$F_{X}(t)=F_{Z}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)\quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} \;,$

da

$F_{X}(t)=P(X\leq t)=P(\mu +\sigma Z\leq t)=P\left(Z\leq {\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)=F_{Z}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)\;.$

Die durch $F_{Z}$ erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter $\mu$ und dem Skalenparamater $\sigma >0$ kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen

$\left\{\left.F_{\mu ,\sigma }(\cdot )=F_{Z}\left({\frac {\cdot -\mu }{\sigma }}\right)\right|\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}\;.$

charakterisiert werden.

Zusammenhang zwischen den Quantilfunktionen

Ist $F_{Z}$ auf $\{x\in \mathbb {R} :F_{Z}(x)\in (0,1)\}$ stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion $F_{X}$ von $X$ auf $\{x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\in (0,1)\}$ stetig und streng monoton und es gilt:

$F_{X}^{-1}(u)=\mu +\sigma F_{Z}^{-1}(u),\;u\in (0,1)$.

Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt

$F_{X}^{-1}(u)=\sigma F_{Z}^{-1}(u),\;u\in (0,1)$.

Beispiele

• Die Normalverteilungen $\mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$ und dem Skalenparamater $\sigma >0$. Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist

$\left\{\left.\Phi _{\mu ,\sigma }(\cdot )=\Phi \left({\frac {\cdot -\mu }{\sigma }}\right)\right|\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}$,

wobei $\Phi$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist $\mu$ zugleich der Erwartungswert und $\sigma$ ist zugleich die Standardabweichung von $X\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$.

• Die Exponentialverteilungen $\mathrm {Exp} (\lambda )$ mit den Verteilungsfunktionen

$F_{\lambda }(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{für }}x>0,\\0&{\text{für }}x\leq 0\end{cases}}$

für $\lambda >0$ bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter $\sigma =1/\lambda$. Dabei ist $\sigma$ zugleich die Standardabweichung von $X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$.

• Aus der Standard-Cauchyverteilung $\mathrm {C} (0,1)$ mit der Verteilungsfunktion

$F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(x)\quad {\text{für }}x\in \mathbb {R}$.

kann die Lage-Skalen-Familie $\{C(\mu ,\sigma )\mid \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\}$ gebildet werden, indem ausgehend von $Z\sim \mathrm {C} (0,1)$ die Verteilungen von $\mu +\sigma Z$ für $\mu \in \mathbb {R}$ und $\sigma >0$ gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von $\mu +\sigma Z$ ist

$F_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$.

Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter $\mu$ und der Skalenparameter $\sigma$ bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.

Literatur

• Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49406-6, Kap. 12.1: Lage-Skalen-Familien, doi:10.1007/978-3-662-49407-3.