Lehmer-Mittel

In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert.

Definition

Das Lehmer-Mittel $n$ positiver reeller Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{n}$ zur Stufe $p$ ist wie folgt definiert:

$L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{p-1}}}.$

Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten $w=(w_{1},\ldots ,w_{n})$. Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:

$L_{p,w}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p}}{\sum \limits _{k=1}^{n}w_{k}a_{k}^{p-1}}}.$

Eigenschaften

Für das Lehmer-Mittel gilt

• $\lim _{p\to -\infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ ist der Minimalwert.
• $L_{0}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$ ist das harmonische Mittel.
• Für $n=2$ ist $L_{\frac {1}{2}}(a_{1},a_{2})={\frac {{\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}}{{\frac {1}{\sqrt {a_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {a_{2}}}}}}={\sqrt {a_{1}a_{2}}}$ das geometrische Mittel.
• $L_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{n}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}$ ist das arithmetische Mittel.
• $L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}^{2}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}$ ist das schon Eudoxos von Knidos bekannte kontraharmonische Mittel.
• $\lim _{p\to \infty }L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ ist der Maximalwert.

Das kontraharmonische Mittel ist im Gegensatz zu den anderen fünf Spezialfällen nicht monoton, d. h. aus $a_{i}\leq b_{i}$ für alle $i$ folgt nicht $L_{2}(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq L_{2}(b_{1},\ldots ,b_{n})$.

Literatur

• D. H. Lehmer: On the compounding of certain means. J. Math. Anal. Appl. 36 (1971) S. 183–200
• P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).