Maßraum

Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition

Das Tripel $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ heißt Maßraum, wenn

$\Omega$ eine beliebige, nichtleere Menge ist. $\Omega$ wird dann auch Grundmenge genannt.
${\mathcal {A}}$ eine σ-Algebra über der Grundmenge $\Omega$ ist.
$\mu$ ein Maß ist, das auf ${\mathcal {A}}$ definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ versehen mit einem Maß $\mu$ definieren.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge $\Omega =\mathbb {N}$ , als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ und als Maß das Diracmaß auf der 1: $\mu =\delta _{1}$ .

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge $\mathbb {R}$ , versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge $\Omega$ , der Ereignisalgebra ${\mathcal {A}}$ und dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ .

Klassen von Maßräumen

Endliche Maßräume

Ein Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also $\mu (\Omega )<\infty$ ist.

σ-endliche Maßräume

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra ${\mathcal {A}}$ ) ist.

Vollständige Maßräume

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume

Ist ${\mathcal {A}}$ eine σ-Algebra über der Grundmenge $\Omega$ und $\nu$ ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel $(\Omega ,{\mathcal {A}},\nu )$ einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume

Ein Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {A}}$ existiert, so dass für alle $A\in {\mathcal {A}}$ und beliebige $\varepsilon >0$ ein $S\in S$ existiert, so dass $\mu (A\triangle S)<\varepsilon$ ist.

Zerlegbare Maßräume

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume

Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

Literatur

Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.