Maclaurin-Ungleichung

Die Maclaurin-Ungleichung (nach Colin Maclaurin) ist eine Aussage aus der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie verschärft die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, die besagt, dass das arithmetische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets mindestens so groß ist wie ihr geometrisches Mittel, in Formeln

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

für eine natürliche Zahl $n$ und $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}>0$. In der Verschärfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen, beispielsweise besagt die Ungleichung für drei Zahlen $x,y,z$

${\frac {x+y+z}{3}}\geq {\sqrt {\frac {xy+yz+zx}{3}}}\geq {\sqrt[{3}]{xyz}}.$

Aussage

Sei $n\in \mathbb {N}$ und seien $a_{1},\ldots ,a_{n}$ positive reelle Zahlen, und definiere

$S_{k}={\binom {n}{k}}^{-1}\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{k}},$

dann gilt

$S_{1}\geq S_{2}^{1/2}\geq \ldots \geq S_{n}^{1/n}.$

Bemerkung: $S_{1}$ ist das arithmetische Mittel der Zahlen, $S_{n}^{1/n}$ das geometrische Mittel. Der Zähler von $S_{k}$ ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad $k$ in $a_{1},\ldots ,a_{n}$.

Beweis

Seien $n$ und $a_{1},\ldots ,a_{n}$ wie angegeben. Definiere die Abbildung $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ durch $f(x):=(x+a_{1})\cdots (x+a_{n})$, diese lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben als $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}S_{k}\,x^{n-k}$.

Weil $f$ eine Polynomfunktion ist, sind auch alle ihre Ableitungen Polynomfunktionen; für $m\in \mathbb {N} _{0}$ mit $m\leq n$ ist also $f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,(x+b_{1})\cdots (x+b_{m})$. Andererseits erhalten wir durch direkte Differentiation der Summendarstellung von $f$, dass $f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}\,S_{k}x^{m-k}$.

Nach dem Satz von Rolle sind $b_{1},\ldots ,b_{m}$ auch alle positiv.

Wieder nach dem Satz von Vieta sind $b_{1}\cdots b_{m}=S_{m}$ und $\sum _{i=1}^{m}{\frac {b_{1}\cdots b_{m}}{b_{i}}}=m\,S_{m-1}$.

Nach der AGM-Ungleichung ist ${\frac {m\,S_{m-1}}{m}}\geq (S_{m}^{m-1})^{1/m}$ und schließlich $S_{m-1}^{1/(m-1)}\geq S_{m}^{1/m}$.