Orthant

Ein Orthant bezeichnet in der Geometrie die Teilmenge des $d$-dimensionalen Raumes $\mathbb {R} ^{d}$, die auf jeweils genau einer Seite der durch den Ursprung verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist damit eine Menge der Form

$\{x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid x_{i}\cdot d_{i}\geq 0\}$,

wobei die $d_{i}\in \{-1,1\}$ für $i\in \{1,\ldots ,d\}$ fest gewählt sind.

Daraus folgt, dass es genau $2^{d}$ Orthanten gibt. Genauer spricht man von abgeschlossenen Orthanten, denn es handelt sich um abgeschlossene Mengen. Die offenen Orthanten erhält man, wenn man in obiger Definition das $\geq$ durch die strikte Ungleichung $>$ ersetzt.

Manche Autoren betrachten auch um einen festen Vektor verschobene Orthanten. So wird in die Menge $\{x\in \mathbb {R} ^{d}\mid x\leq a\}$ als der untere Orthant an den Vektor $a\in \mathbb {R} ^{d}$ bezeichnet.

Beispiele

• Im $\mathbb {R} ^{2}$ sind die Orthanten die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems.

• Im $\mathbb {R} ^{3}$ nennt man die acht Orthanten entsprechend Oktanten.