Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung ist die von Wolfgang Pauli (1900–1958) angegebene Erweiterung der Schrödingergleichung, um geladene Spin-1/2-Teilchen, etwa Elektronen in nicht-relativistischer Näherung zu beschreiben. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödingergleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Damit kann man z. B. beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen, warum ein Strahl von Silberatomen sich beim Durchfliegen eines inhomogenen Magnetfelds je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufspaltet.

Die Pauli-Gleichung lautet:

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,$

Hier bezeichnet

• $\varphi ={\begin{pmatrix}\varphi _{\uparrow }(t,{\vec {x}})\\\varphi _{\downarrow }(t,{\vec {x}})\end{pmatrix}}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion (Paulispinor)
• $p^{i}=-\mathrm {i} \hbar \partial _{x^{i}}\,,i\in \{1,2,3\}\,,$ die $i$-te Komponente des Impulsoperators,
• $\,q$ die elektrische Ladung und $\,m$ die Masse des Teilchens,
• $\,\phi$ das skalare elektrische Potential und ${\vec {A}}$ das magnetische Vektorpotential,
• $\,g$ den gyromagnetischen Faktor,
• ${\vec {\sigma }}$ die Pauli-Matrizen (mit dem Spin-Operator ${\vec {S}}=\hbar \,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}$),
• ${\vec {B}}={\text{rot}}\,{\vec {A}}$ das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld ${\vec {B}}$ koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor $g$ stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls ${\vec {L}}\,,$

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2\,m}}\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,{\bigl (}{\vec {L}}+g\,{\vec {S}}{\bigr )}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.$

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert $g=2$ für den gyromagnetischen Faktor von Elektronen voraus. Dieser Wert kann auch ohne Einbeziehung relativistischer Annahmen aus der Linearisierung der Schrödingergleichung berechnet werden. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

$g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.$

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi _{2}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi _{1}\end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)+m\,c^{2}\,\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\-\varphi _{2}\end{array}}\right)$   mit   ${\vec {\pi }}={\vec {p}}-q\,{\vec {A}}$

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

$\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{array}}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\displaystyle m\,c^{2}\,t}{\displaystyle \hbar }}}\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)$

die Zeitableitung der Zweierspinoren $\varphi$ und $\chi$ klein ist.

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)=c\,\left({\begin{array}{c}{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\chi \\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi \end{array}}\right)+q\,\phi \,\left({\begin{array}{c}\varphi \\\chi \end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\-2\,m\,c^{2}\,\chi \end{array}}\right)$

In der Zeile $\partial _{t}\chi$ ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenergie $m\,c^{2}\,.$ Daher ist $\chi$ klein gegen $\varphi$ und ungefähr gleich

$\chi \approx {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\,\varphi }{2\,m\,c}}\,.$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})^{2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi \,.$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

$({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }})^{\,2}=\sigma ^{i}\,\sigma ^{j}\pi ^{i}\pi ^{j}=(\delta ^{ij}+\mathrm {i} \varepsilon ^{ijk}\sigma ^{k})\pi ^{i}\pi ^{j}={\vec {\pi }}^{2}-q\,\hbar \,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\,.$

Der Spinor $\varphi$ genügt daher der Pauli-Gleichung mit $g=2$,

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {\pi }}^{\,2}}{2\,m}}\,\varphi +q\,\phi \,\varphi -{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.$

Im homogenen Magnetfeld gilt $\phi =0\,,\,{\vec {A}}={\frac {1}{2}}\,{\vec {B}}\times {\vec {x}}\,,$ und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

$({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}={\vec {p}}^{\,2}-q\,{\vec {x}}\times {\vec {p}}\cdot {\vec {B}}={\vec {p}}^{\,2}-q\,{\vec {L}}\cdot {\vec {B}}\,,$

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in ${\vec {B}}$ sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

$\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi ={\frac {{\vec {p}}^{\,2}}{2\,m}}\,\varphi -{\frac {q}{2\,m}}\,({\vec {L}}+g\,{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}\,\varphi \,.$

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls ${\vec {L}}$ und trägt nicht nur $-{\frac {q\,\hbar }{2\,m}}\,{\frac {\vec {L}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}$ zur Energie bei. Der Faktor ${\frac {q\,\hbar }{2\,m}}$ wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist ${\frac {\vec {L}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}$ ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke $|{\vec {B}}|\,.$ Dagegen ergibt ${\frac {\vec {S}}{\hbar }}\cdot {\vec {B}}$ ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Literatur

• Franz Schwabl: Quantenmechanik (QM I). 5. erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-63779-6 (Springer-Lehrbuch).
• Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-63382-0 (Springer-Lehrbuch).
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloe: Quantum Mechanics. Volume 2. Wiley u. a., New York NY u. a. 1977, ISBN 0-471-16435-6 (A Wiley-Interscience Publication).