Reeller projektiver Raum

Ein reeller projektiver Raum ist in der Mathematik der projektive Raum eines reellen Vektorraumes, welcher als Punkte sämtliche reelle Ursprungsgeraden (eindimensionale Untervektorräume) von diesem enthält. $\mathbb {R} P^{n}$ notiert dabei den projektiven Raum von $\mathbb {R} ^{n+1}$ und wird $n$ -ter reeller projektiver Raum genannt. Ein reeller projektiver Raum ist ein Spezialfall einer Graßmann-Mannigfaltigkeit durch $\mathbb {R} P^{n}=\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n+1})$ .

Konstruktion

Darstellung der reellen projektiven Ebene, bei der die roten und blauen Seiten entsprechend der durch die Pfeile gegebenen Orientierung miteinander identifiziert werden.

Auf dem reellen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ ohne Ursprung ist die Relation $x\sim y$ , wenn es einen reellen Skalar $\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ mit $x=\lambda y$ gibt, eine Äquivalenzrelation. $\mathbb {R} P^{n}$ ist der Faktorraum von $\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ unter dieser Äquivalenzrelation.^[1] Die Äquivalenzklasse einer Koordinate $(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ wird als $[x_{0}:\ldots :x_{n}]\in \mathbb {R} P^{n}$ notiert. Dieser Raum ist eine (reelle) Mannigfaltigkeit, was an der alternativen Definition durch die eindimensionalen Untervektorräume von $\mathbb {R} ^{n+1}$ , also als Graßmann-Mannigfaltigkeit $\mathbb {R} P^{n}=\operatorname {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n+1})$ , erkennbar ist. Dabei gilt:

\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {R} P^{n}=n.

Eine alternative Konstruktion ist die Einschränkung auf die Sphären $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ und $S^{0}\subset \mathbb {R} \setminus \{0\}$ bei der Betrachtung dieser Äquivalenzrelation.^[1] Dadurch ergibt sich ein Faserbündel:^[2]

S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}.

Da die Faser $S^{0}\cong \mathbb {Z} _{2}$ diskret ist, ist die Abbildung $S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ eine doppelte Überlagerung.

Alternative Darstellung der reellen projektiven Ebene

Niedrigdimensionale Beispiele

$\mathbb {R} P^{0}$ ist der einpunktige Raum.
$\mathbb {R} P^{1}$ wird reelle projektive Linie genannt und ist homöomorph zur $1$ -Sphäre $S^{1}$ .^[3] Die zusammen mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung $\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1}$ zwischen Sphären ist die reele Hopf-Faserung $h_{\mathbb {R} }$ .^[4]
$\mathbb {R} P^{2}$ wird reelle projektive Ebene genannt. Ihre Immersion in $\mathbb {R} ^{3}$ ist bekannt als Boysche Fläche und es gibt eine Einbettung in $\mathbb {R} ^{4}$ . Das Problem von Immersion und Einbettung des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ ist bereits gut untersucht.^[5]
$\mathbb {R} P^{3}$ ist diffeomorph zur Drehgruppe $\operatorname {SO} (3)$ und besitzt daher eine Gruppenstruktur.^[6] Die doppelte Überlagerung $S^{3}\rightarrow \mathbb {R} P^{3}$ ist dabei topologisch zugrundeliegend für die doppelte Überlagerung $\operatorname {Spin} (3)\rightarrow \operatorname {SO} (3)$ . (Entsprechend ist $S^{3}$ diffeomorph zur Spingruppe $\operatorname {Spin} (3)$ und besitzt daher ebenfalls eine Gruppenstruktur.)

Bryant–Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche

Eigenschaften

Jede stetige Abbildung $\mathbb {R} P^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ mit $n$ gerade hat einen Fixpunkt (also $\mathbb {R} P^{n}$ die Fixpunkteigenschaft für $n$ gerade).^[7]^[8] Für $n$ ungerade gilt dies nicht, da dann die Abbildung $\mathbb {R} P^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n},[x_{0}:x_{1}:....:x_{n-1}:x_{n}]\mapsto [x_{1}:-x_{0}:....:x_{n}:-x_{n-1}]$ keinen Fixpunkt hat.^[8]
Die reelle projektive Ebene $\mathbb {RP} ^{2}$ ist der Moore-Raum $M(\mathbb {Z} _{2},1)$ . Ihre $n$ -fache Einhängung $\Sigma ^{n}\mathbb {R} P^{2}$ ist daher der Moore-Raum $M(\mathbb {Z} _{2},n+1)$ .
Die kleinste natürliche Zahl $k\in \mathbb {N}$ , sodass $\mathbb {R} P^{n}$ mit $n\neq 1,3,7$ eine Einbettung in $\mathbb {R} ^{k-1}$ besitzt, ist genau die topologische Komplexität $\operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{n})$ (mit der Konvention $\operatorname {TC} (\{*\})=1$ ).^[9]
Für $n=1,3,7$ ist $\operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{n})=n+1$ .^[9]

CW-Struktur

Der reelle projektive Raum $\mathbb {R} P^{n}$ ist ein CW-Komplex. $\mathbb {R} P^{n}$ entsteht aus $\mathbb {R} P^{n-1}$ durch Anklebung einer $n$ -Zelle. Da $\mathbb {R} P^{0}$ aus einer $0$ -Zelle besteht, hat die CW-Struktur auf $\mathbb {R} P^{n}$ daher eine Zelle in jeder Dimension $k$ von $0\leq k\leq n$ .^[10]^[11]

Algebraische Topologie

Homotopie

Die Homotopiegruppen des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ lassen sich über die lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen^[12] des Faserbündels $S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ berechnen^[13] und sind gegeben durch:^[14]

\pi _{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}0&;k=0\\\mathbb {Z} &;k=1,n=1\\\mathbb {Z} _{2}&;k=1,n>1\\\pi _{k}(S^{n})&;k>1,n>0\end{cases}}.

Homologie

Die Homologiegruppen des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ lassen sich über zelluläre Homologie aus dessen CW-Struktur berechnen und sind gegeben durch:^[15]^[16]

H_{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.

Es ist also $H_{n-1}(\mathbb {R} P^{n})\cong \mathbb {Z} _{2}$ für $n$ gerade und $H_{n-1}(\mathbb {R} P^{n})\cong 1$ für $n$ ungerade. Daraus folgt,^[17] dass $\mathbb {R} P^{n}$ genau dann orientierbar ist, wenn $n$ ungerade ist.^[18]

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ sind gegeben durch:^[19]

H^{k}(\mathbb {R} P^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &;k=0{\text{ oder }}k=n{\text{ wenn ungerade}}\\\mathbb {Z} _{2}&;k{\text{ ungerade}},0<k<n\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.

Für den Kohomologiering gilt:^[20]

H^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1}]/(w_{1}^{n+1}),

wobei $w_{1}$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist.

K-Theorie

Tautologisches Linienbündel

Es gibt ein kanonisches Linienbündel über dem reellen projektiven Raum $\mathbb {R} P^{n}$ , da dessen Punkte per Konstruktion aus eindimensionalen Untervektorräumen bestehen, definiert durch:

\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}:=\{(x,V)\in \mathbb {R} ^{n+1}\times \mathbb {R} P^{n}|x\in V\}

\pi _{\mathbb {R} }^{1,n}\colon \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n},(x,V)\mapsto V.

Das ist ein Spezialfall des tautologischen Vektorbündels über Graßmann-Mannigfaltigkeiten.^[21]

Tangentialbündel

Für das Tangentialbündel des reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{n}$ gilt:^[22]

T\mathbb {R} P^{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }}\cong (\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n})^{n+1}.

Unendlicher reeller projektiver Raum

Die kanonische Inklusion $\mathbb {R} ^{n+1}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+2},x\mapsto (x,0)$ erzeugt eine wohldefinierte kanonische Inklusion $\mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1},[x]\mapsto [(x,0)]$ . Der direkte Limes dieser Kette an Inklusionen wird als:

\mathbb {R} P^{\infty }:=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}

bezeichnet und unendlicher reeller projektiver Raum genannt.^[23]

Das obige Faserbündel $S^{0}\rightarrow S^{n}\rightarrow \mathbb {R} P^{n}$ erzeugt durch direkten Limes ein Faserbündel $S^{0}\rightarrow S^{\infty }\rightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$ . Da die unendlich-dimensionale Sphäre $S^{\infty }$ zusammenziehbar ist (also alle Homotopiegruppen verschwinden),^[24] folgt aus der langen exakten Sequenz von Homotopiegruppen^[12] für die des unendlich reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{\infty }$ :

\pi _{k}(\mathbb {R} P^{\infty })\cong \pi _{k-1}(S^{0})={\begin{cases}\mathbb {Z} _{2}&;k=1\\1&;{\text{sonst.}}\end{cases}}.

Die CW-Struktur überträgt sich ebenfalls durch den direkten Limes, sodass der unendliche reelle projektive Raum $\mathbb {R} P^{\infty }$ eine CW-Struktur mit einer Zelle in jeder Dimension hat.

Das tautologische Linienbündel lässt sich durch den direkten Limes $\gamma _{\mathbb {R} }^{1}:=\lim _{n\rightarrow \infty }\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}$ über die kanonischen Inklusionen $\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}\hookrightarrow \gamma _{\mathbb {R} }^{1,n+1},(x,V)\mapsto ((x,0),V\times \{0\})$ auf $\mathbb {R} P^{\infty }$ fortsetzen und ist ein Spezialfall eines universellen Vektorbündels. Die Namensgebung kommt daher, dass sich jedes reelle Linienbündel als zurückgezogenes Vektorbündel aus diesem erhalten lässt, also für jedes reelle Linienbündel $\pi \colon E\rightarrow B$ mit $B$ parakompakt (bis auf Homotopie) eine klassifizierende Abbildung $f\colon B\rightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$ existiert, sodass $\pi =f^{*}\pi _{\mathbb {R} }^{1}$ . Es gibt daher eine Isomorphie von Mengen:^[25]

\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\cong [B,\mathbb {R} P^{\infty }].

Etwa ist der Rückzug des universellen Vektorbündels $\gamma _{\mathbb {R} }^{1}$ entlang der kanonischen Inklusion $\mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }$ (also $B=\mathbb {R} P^{n}$ ) wieder das tautologische Linienbündel $\gamma _{\mathbb {R} }^{1,n}$ .

$\mathbb {R} P^{\infty }$ ist $\operatorname {BO} (1)$ , der klassifizierende Raum von $\operatorname {O} (1)$ , der ersten orthogonalen Gruppe, und dadurch ebenso $K(\mathbb {Z} _{2},1)$ ,^[26]^[23] der erste Eilenberg–MacLane-Raum von $\pi _{0}\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ wie oben bereits gezeigt. Das bedeutet, dass $\mathbb {R} P^{\infty }$ die erste singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} _{2}$ darstellt (vergleiche mit dem Brownschen Darstellungssatz), also für topologische Räume $B$ mit dem Homotopietyp eines CW-Komplexes (also insbesondere parakompakt^[27]) sogar spezieller gilt:

\operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\cong [B,\mathbb {R} P^{\infty }]\cong H^{1}(B;\mathbb {Z} _{2}).

Dabei ist der Isomorphismus (Homomorphismus, falls $B$ nicht vom Homotopietyp eines CW-Komplexes ist) durch die erste Stiefel–Whitney-Klasse $w_{1}\colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{1}(B)\rightarrow H^{1}(B;\mathbb {Z} _{2})$ gegeben.^[28]

Der Kohomologiering des unendlich reellen projektiven Raumes $\mathbb {R} P^{\infty }$ mit Koeffizienten in $\mathbb {Z} _{2}$ ist gegeben durch:^[20]

H^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1}],

wobei $w_{1}$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist. Das folgt direkt aus dem allgemeineren Resultat für den klassifizierenden Raum von $\operatorname {O} (n)$ :^[29]^[30]

H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].

Siehe auch

Literatur

Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-79160-1 (englisch, cornell.edu).
Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. (englisch, cornell.edu [PDF]).
Glen Bredon: Topology and geometry,. Hrsg.: Graduate Texts in Mathematics. Springer Nature, 1993 (englisch).
Donald Davis: Table of immersions and embeddings of real projective spaces. Abgerufen am 22. September 2011 (englisch).

Weblinks

Reeller projektiver Raum auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 6, Example 0.4.
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 377, Example 4.44. (englisch).
↑ projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ real Hopf fibration. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ Siehe Don Davis für ein Literaturverzeichnis und eine Liste an bekannten Resultaten.
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 293.
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 155, Exercise 2.
↑ ^a ^b Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 180.
↑ ^a ^b Michael Farber, Serge Tabachnikov, Sergey Yuzvinsky: Topological robotics: motion planning in projective spaces. 2. Oktober 2002, abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ cell structure of projective spaces. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ CW structure of real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ ^a ^b Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 376, Theorem 4.41.
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 380, Example 4.49.
↑ Homotopy of real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ Hatcher: Algebraic Topology. Chapter 2: Homology, Example 2.42, S. 144 (englisch).
↑ Homology of real projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch).
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 238, Corollary 3.28.
↑ J. T. Wloka, B. Rowley, B. Lawruk: Boundary Value Problems for Elliptic Systems. Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-43011-1, S. 197 (englisch, google.com).
↑ Cohomology of real projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch).
↑ ^a ^b Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 213/220, Example 3.12/Theorem 3.19.
↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 6–7.
↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 11.
↑ ^a ^b real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 19, Exercise 16.
↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Theorem 1.16.
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 88, Example 1B.3.
↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 36, Proposition 1.20.
↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 86, Proposition 3.10.
↑ John Milnor, James Stasheff: Characteristic Classes. S. 83, Theorem 7.1.
↑ Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).

[:37-1] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 6, Example 0.4.

[:33-2] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 377, Example 4.44. (englisch).

[:34-3] projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[4] real Hopf fibration. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[5] Siehe Don Davis für ein Literaturverzeichnis und eine Liste an bekannten Resultaten.

[6] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 293.

[7] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 155, Exercise 2.

[:40-8] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 180.

[:45-9] Michael Farber, Serge Tabachnikov, Sergey Yuzvinsky: Topological robotics: motion planning in projective spaces. 2. Oktober 2002, abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[:41-10] cell structure of projective spaces. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[11] CW structure of real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[:47-12] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 376, Theorem 4.41.

[13] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 380, Example 4.49.

[14] Homotopy of real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[15] Hatcher: Algebraic Topology. Chapter 2: Homology, Example 2.42, S. 144 (englisch).

[16] Homology of real projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch).

[17] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 238, Corollary 3.28.

[18] J. T. Wloka, B. Rowley, B. Lawruk: Boundary Value Problems for Elliptic Systems. Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-43011-1, S. 197 (englisch, google.com).

[19] Cohomology of real projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch).

[:38-20] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 213/220, Example 3.12/Theorem 3.19.

[21] Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 6–7.

[22] Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 11.

[:35-23] real projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).

[:48-24] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 19, Exercise 16.

[:42-25] Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Theorem 1.16.

[26] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 88, Example 1B.3.

[:43-27] Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 36, Proposition 1.20.

[:44-28] Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 86, Proposition 3.10.

[29] John Milnor, James Stasheff: Characteristic Classes. S. 83, Theorem 7.1.

[30] Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).

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