Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei $D\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet, $D_{f}$ isoliert in $D$ und $f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C}$ holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt $a\in D_{f}$ eine punktierte Umgebung $U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D$, die relativ kompakt in $D$ liegt, mit $f|_{U}$ holomorph.

In diesem Fall besitzt $f$ auf $U$ eine Laurententwicklung $\textstyle f|_{U}(z)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$. Dann erhält man das Residuum von $f$ in $a$ als Koeffizienten der Laurent-Reihe

$\operatorname {Res} _{a}(f):=c_{-1}.$

Wenn $a$ ein Pol erster Ordnung ist, dann ist

$\operatorname {Res} _{a}(f)=\lim _{z\to a}(z-a)f(z).$

Wenn $a$ ein Pol n-ter Ordnung ist, dann ist

$\operatorname {Res} _{a}(f)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-a)^{n}f(z)\right).$

Aus dem Residuensatz folgt, dass man das Residuum als

$\operatorname {Res} _{a}(f)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint \limits _{\partial U}f(z)dz$

berechnen kann.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die Riemannsche Zahlenkugel $\mathbb {P} _{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ erweitern. Sei $D_{f}$ wieder eine diskrete Menge in $\mathbb {P} _{1}$ und $f\colon \mathbb {P} _{1}\setminus D_{f}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist für alle $a\in D_{f}$ mit $a\neq \infty$ das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt.

Für $a=\infty \in D_{f}$ setzt man

$\operatorname {Res} _{\infty }(f)=-\operatorname {Res} _{0}\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)\right).$

Wenn

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,$

ist, dann kann man das Residuum im Unendlichen durch

$\operatorname {Res} _{\infty }(f)=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)$

berechnen. Wenn hingegen

$\lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,$

ist, dann errechnet sich das Residuum in Unendlich zu

$\operatorname {Res} _{\infty }(f)=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).$

Eigenschaften und Anmerkungen

• Sei $D\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet und $f\colon D\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion in $a$. Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von $f$ in $a$ null ist.
• An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform $f(z)\mathrm {d} z$ sprechen kann.
• Es gilt der Residuensatz.
• Für rationale Funktionen $f:{\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}$ gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation: $\sum _{p(f)}\operatorname {Res} _{p}(f)=0$. Dabei ist $p(f)$ die Menge aller Pole von $f$ und ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen $f,g$ im Punkt $a\in \mathbb {C}$ in der Praxis verwendet werden:

• Das Residuum ist $\mathbb {C}$-linear, d. h. für $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$ gilt: $\operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f+\mu \operatorname {Res} _{a}g$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: $\textstyle \operatorname {Res} _{a}f=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle 1. Ordnung und ist $g$ in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}gf=g(a)\operatorname {Res} _{a}f$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle 1. Ordnung und ist $g$ in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}$
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung, gilt: $\textstyle \operatorname {Res} _{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]$
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$-ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Nullstelle $n$-ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=g(a)n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung, gilt: $\operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=-n$.
• Hat $f$ in $a$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung und ist g in $a$ holomorph, gilt: $\operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=-g(a)n$.
• Sei $f$ in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet $G$, d. h. $z\in G\Rightarrow {\overline {z}}\in G$, holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Weiterhin gelte $f(G\cap \mathbb {R} )\subset \mathbb {R}$. Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitätssatz äquivalent zu $f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}$. Es gilt sodann $\operatorname {Res} _{\overline {a}}f={\overline {\operatorname {Res} _{a}f}}$.
• Ist das Residuum am Punkt $\infty$ zu berechnen, so gilt $\operatorname {Res} _{\infty }f=\operatorname {Res} _{0}\left(-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\right)$. Denn mit $w={\tfrac {1}{z}}$ gilt $f(w)\mathrm {d} w=f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} {\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} z$

Die Regeln über die logarithmische Ableitung ${\tfrac {f'}{f}}$ sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

• Wie bereits erwähnt, ist $\operatorname {Res} _{a}f=0$, wenn $f$ auf einer offenen Umgebung von $a$ holomorph ist.
• Ist $f(z)={\tfrac {1}{z}}$, so hat $f$ in $0$ einen Pol 1. Ordnung, und es ist $\operatorname {Res} _{0}f=1$.
• $\operatorname {Res} _{1}{\tfrac {z}{z^{2}-1}}={\tfrac {1}{2}}$, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn $z\mapsto z^{2}-1$ hat in $1$ eine Nullstelle 1. Ordnung.
• Die fortgesetzte Gammafunktion hat in $-n$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$ Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist $\operatorname {Res} _{-n}\Gamma ={\tfrac {(-1)^{n}}{n!}}$.

Algebraische Sichtweise

Es seien $K$ ein Körper und $X$ eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über $K$. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt $x\in X$ eine kanonische Abbildung

$\operatorname {res} _{x}\colon \Omega _{K(X)/K}\to K,$

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in $x$ zuordnet.

Ist $x$ ein $K$-rationaler Punkt und $t$ eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist $\omega$ eine meromorphe Differentialform und $\omega =f\,\mathrm {d} t$ eine lokale Darstellung, und ist

$f=\sum _{k=-N}^{\infty }a_{k}t^{k}$

die Laurentreihe von $f$, so gilt

$\operatorname {res} _{x}\omega =a_{-1}.$

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall $K=\mathbb {C}$ mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform $\omega$ ist die Summe der Residuen null:

$\sum _{x\in X}\operatorname {res} _{x}\omega =0.$

Quellen

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.