Die Rogers-Ramanujan-Identitäten sind ursprünglich zwei Identitäten zwischen unendlichen Reihen und Produkten, die zuerst Leonard James Rogers 1894[ 1] S. Ramanujan fand sie unabhängig vor 1913 (ohne Beweis).[ 2] [ 3] Issai Schur 1917 die Identitäten und einen Beweis.[ 4]
Da die in der Identität vorkommenden Terme erzeugende Funktionen bestimmter Partitionen sind, machen die Identitäten Aussagen über Partitionen (Zerfällungen) natürlicher Zahlen. Die Zahlenfolgen, welche sich aus den Koeffizienten der Maclaurinschen Reihen von den Rogers-Ramanujan-Funktionen G und H ergeben, sind spezielle Partitionszahlenfolgen der Stufe 5:
G
(
x
)
=
1
(
x
;
x
5
)
∞
(
x
4
;
x
5
)
∞
=
1
+
∑
n
=
1
∞
P
G
(
n
)
x
n
{\displaystyle G(x)={\frac {1}{(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{G}(n)x^{n}}
H
(
x
)
=
1
(
x
2
;
x
5
)
∞
(
x
3
;
x
5
)
∞
=
1
+
∑
n
=
1
∞
P
H
(
n
)
x
n
{\displaystyle H(x)={\frac {1}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{H}(n)x^{n}}
Die Zahlenfolge
P
G
(
n
)
{\displaystyle P_{G}(n)}
[ 9]
P
G
(
n
)
{\displaystyle P_{G}(n)}
Und die Zahlenfolge
P
H
(
n
)
{\displaystyle P_{H}(n)}
[ 10]
P
H
(
n
)
{\displaystyle P_{H}(n)}
Partitionszahlenfolge
P
G
(
n
)
{\displaystyle P_{G}(n)}
Natürliche Zahl n
P
G
(
n
)
{\displaystyle P_{G}(n)}
Summandarstellungen mit dem genannten Kriterium
1
1
1
2
1
1+1
3
1
1+1+1
4
2
4, 1+1+1+1
5
2
4+1, 1+1+1+1+1
6
3
6, 4+1+1, 1+1+1+1+1+1
7
3
6+1, 4+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1
8
4
6+1+1, 4+4, 4+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1
9
5
9, 6+1+1+1, 4+4+1, 4+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1
10
6
9+1, 6+4, 6+1+1+1+1, 4+4+1+1, 4+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
11
7
11, 9+1+1, 6+4+1, 6+1+1+1+1+1, 4+4+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
12
9
11+1, 9+1+1+1, 6+6, 6+4+1+1, 6+1+1+1+1+1+1, 4+4+4, 4+4+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
13
10
11+1+1, 9+4, 9+1+1+1+1, 6+6+1, 6+4+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1, 4+4+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
14
12
14, 11+1+1+1, 9+4+1, 9+1+1+1+1+1, 6+6+1+1, 6+4+4, 6+4+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
15
14
14+1, 11+4, 11+1+1+1+1, 9+6, 9+4+1+1, 9+1+1+1+1+1+1, 6+6+1+1+1, 6+4+4+1, 6+4+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
16
17
16, 14+1+1, 11+4+1, 11+1+1+1+1+1, 9+6+1, 9+4+1+1+1, 9+1+1+1+1+1+1+1, 6+6+4, 6+6+1+1+1+1, 6+4+4+1+1, 6+4+1+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+4, 4+4+4+1+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Partitionszahlenfolge
P
H
(
n
)
{\displaystyle P_{H}(n)}
Natürliche Zahl n
P
H
(
n
)
{\displaystyle P_{H}(n)}
Summandarstellungen mit dem genannten Kriterium
1
0
keine
2
1
2
3
1
3
4
1
2+2
5
1
3+2
6
2
3+3, 2+2+2
7
2
7, 3+2+2
8
3
8, 3+3+2, 2+2+2+2
9
3
7+2, 3+3+3, 3+2+2+2
10
4
8+2, 7+3, 3+3+2+2, 2+2+2+2+2
Bearbeiten
Setzt man
q
=
e
2
π
i
τ
{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}
τ
∈
C
{\displaystyle \tau \in \mathbb {C} }
G
M
(
q
)
=
q
−
1
60
G
(
q
)
{\displaystyle G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}G(q)}
und
H
M
(
q
)
=
q
11
60
H
(
q
)
{\displaystyle H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}H(q)}
Modulfunktionen !
Diese Funktionen haben für den Kehrwert der Gelfondschen Konstante und für das Quadrat von diesem Kehrwert gelten folgende Werte:
G
M
[
exp
(
−
π
)
]
=
2
−
1
/
2
5
−
1
/
4
(
5
−
1
)
1
/
4
(
5
4
+
1
)
1
/
2
R
[
exp
(
−
π
)
]
−
1
/
2
{\displaystyle G_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{-1/2}}
H
M
[
exp
(
−
π
)
]
=
2
−
1
/
2
5
−
1
/
4
(
5
−
1
)
1
/
4
(
5
4
+
1
)
1
/
2
R
[
exp
(
−
π
)
]
1
/
2
{\displaystyle H_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{1/2}}
G
M
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
10
−
1
/
4
(
5
−
1
)
1
/
4
R
[
exp
(
−
2
π
)
]
−
1
/
2
{\displaystyle G_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{-1/2}}
H
M
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
10
−
1
/
4
(
5
−
1
)
1
/
4
R
[
exp
(
−
2
π
)
]
1
/
2
{\displaystyle H_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{1/2}}
Der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch nimmt für diese Abszissenwerte folgende Ordinatenwerte an:
R
[
exp
(
−
π
)
]
=
1
4
(
5
+
1
)
(
5
−
5
+
2
)
(
5
+
2
+
5
4
)
=
=
tan
[
1
4
arctan
(
2
)
+
1
2
arcsin
(
Φ
−
2
)
]
=
=
Φ
3
/
2
cl
(
1
5
ϖ
)
−
3
/
2
cl
(
2
5
ϖ
)
3
/
2
cl
(
1
10
ϖ
)
2
cl
(
3
10
ϖ
)
slh
(
2
5
2
ϖ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}R[\exp(-\pi )]{}&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})=\\[4pt]&{}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}=\\[4pt]&{}=\Phi ^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{5}}\varpi )^{-3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {2}{5}}\varpi )^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{10}}\varpi )^{2}\operatorname {cl} ({\tfrac {3}{10}}\varpi )\operatorname {slh} ({\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi )\\[4pt]\end{aligned}}}
R
[
exp
(
−
2
π
)
]
=
4
sin
(
1
20
π
)
sin
(
3
20
π
)
=
=
tan
[
1
4
arctan
(
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}R[\exp(-2\pi )]{}&=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\\[4pt]&{}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}\end{aligned}}}
Mit der Dedekindschen Etafunktion können die modulierten Funktionen
G
M
{\displaystyle G_{M}}
H
M
{\displaystyle H_{M}}
G
M
(
q
)
=
η
W
(
q
5
)
1
/
2
η
W
(
q
)
−
1
/
2
R
(
q
)
−
1
/
2
{\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}
H
M
(
q
)
=
η
W
(
q
5
)
1
/
2
η
W
(
q
)
−
1
/
2
R
(
q
)
1
/
2
{\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}
Für die Dedekindsche Etafunktion nach Weberscher Definition[ 11]
η
W
(
x
)
=
2
−
1
/
6
ϑ
10
(
x
)
1
/
6
ϑ
00
(
x
)
1
/
6
ϑ
01
(
x
)
2
/
3
{\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}
η
W
(
x
)
=
2
−
1
/
3
ϑ
10
(
x
1
/
2
)
1
/
3
ϑ
00
(
x
1
/
2
)
1
/
3
ϑ
01
(
x
1
/
2
)
1
/
3
{\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}}
η
W
(
x
)
=
x
1
/
24
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
n
)
=
x
1
/
24
(
x
;
x
)
∞
{\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }}
η
W
(
x
)
=
x
1
/
24
{
1
+
∑
n
=
1
∞
[
−
x
Fn
(
2
n
−
1
)
−
x
Kr
(
2
n
−
1
)
+
x
Fn
(
2
n
)
+
x
Kr
(
2
n
)
]
}
{\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}{\biggr \}}}
Bei der zweiten dieser beiden Formeln wird der Pentagonalzahlensatz [ 12]
Hierbei gelten für die Fünfeckszahlen und die Kartenhauszahlen diese grundlegenden Definitionen:
Fn
(
z
)
=
1
2
z
(
3
z
−
1
)
{\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}
Kr
(
z
)
=
1
2
z
(
3
z
+
1
)
{\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}
Mit den Pochhammer-Produkten alleine gelten dann für die nicht modulierten Funktionen G und H dann die folgende Identität:
G
(
q
)
=
(
q
;
q
5
)
∞
−
1
(
q
4
;
q
5
)
∞
−
1
=
(
q
5
;
q
5
)
∞
1
/
2
(
q
;
q
)
∞
−
1
/
2
[
H
(
q
)
G
(
q
)
]
−
1
/
2
{\displaystyle G(q)=(q;q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{4};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{-1/2}}
H
(
q
)
=
(
q
2
;
q
5
)
∞
−
1
(
q
3
;
q
5
)
∞
−
1
=
(
q
5
;
q
5
)
∞
1
/
2
(
q
;
q
)
∞
−
1
/
2
[
H
(
q
)
G
(
q
)
]
1
/
2
{\displaystyle H(q)=(q^{2};q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{3};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{1/2}}
Die Richtigkeit des Produkts der beiden nun genannten Formeln kann direkt anhand der Pochhammerschen Produktreihen erkannt werden. Man kann für die modulierten Funktionen
G
M
{\displaystyle G_{M}}
H
M
{\displaystyle H_{M}}
η
W
(
q
5
)
η
W
(
q
)
=
η
W
(
q
2
)
4
η
W
(
q
)
4
ϑ
01
(
q
5
)
ϑ
01
(
q
)
[
5
ϑ
01
(
q
5
)
2
4
ϑ
01
(
q
)
2
−
1
4
]
−
1
{\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1}}
Gegeben waren für die modulierten Funktionen
G
M
{\displaystyle G_{M}}
H
M
{\displaystyle H_{M}}
G
M
(
q
)
=
η
W
(
q
5
)
1
/
2
η
W
(
q
)
−
1
/
2
R
(
q
)
−
1
/
2
{\displaystyle G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}}
H
M
(
q
)
=
η
W
(
q
5
)
1
/
2
η
W
(
q
)
−
1
/
2
R
(
q
)
1
/
2
{\displaystyle H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}}
Die Kombination der drei zuletzt genannten Formeln ergibt folgendes Formelpaar:
G
M
(
q
)
=
η
W
(
q
2
)
2
η
W
(
q
)
2
[
ϑ
01
(
q
5
)
ϑ
01
(
q
)
]
1
/
2
[
5
ϑ
01
(
q
5
)
2
4
ϑ
01
(
q
)
2
−
1
4
]
−
1
/
2
R
(
q
)
−
1
/
2
{\displaystyle G_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{-1/2}}
H
M
(
q
)
=
η
W
(
q
2
)
2
η
W
(
q
)
2
[
ϑ
01
(
q
5
)
ϑ
01
(
q
)
]
1
/
2
[
5
ϑ
01
(
q
5
)
2
4
ϑ
01
(
q
)
2
−
1
4
]
−
1
/
2
R
(
q
)
1
/
2
{\displaystyle H_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{1/2}}
Folgender Kettenbruch
R
(
q
)
{\displaystyle R(q)}
Rogers-Ramanujan-Kettenbruch [ 13] [ 14]
S
(
q
)
{\displaystyle S(q)}
Standardisierter Kettenbruch
Alternierender Kettenbruch
R
(
q
)
=
q
1
/
5
[
1
+
q
1
+
q
2
1
+
q
3
1
+
⋯
]
{\displaystyle R(q)=q^{1/5}\left[1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}
S
(
q
)
=
q
1
/
5
[
1
−
q
1
+
q
2
1
−
q
3
1
+
⋯
]
{\displaystyle S(q)=q^{1/5}\left[1-{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1-{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}
Durch den Faktor
q
1
5
{\displaystyle q^{\frac {1}{5}}}
Es gilt diese Definition[ 15]
R
(
q
)
=
H
M
(
q
)
G
M
(
q
)
{\displaystyle R(q)={\frac {H_{M}(q)}{G_{M}(q)}}}
R
(
q
)
=
q
1
/
5
(
q
;
q
5
)
∞
(
q
4
;
q
5
)
∞
(
q
2
;
q
5
)
∞
(
q
3
;
q
5
)
∞
{\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}
R
(
q
)
=
q
1
/
5
∏
k
=
0
∞
(
1
−
q
5
k
+
1
)
(
1
−
q
5
k
+
4
)
(
1
−
q
5
k
+
2
)
(
1
−
q
5
k
+
3
)
=
q
1
/
5
H
(
q
)
G
(
q
)
{\displaystyle R(q)=q^{1/5}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})}{(1-q^{5k+2})(1-q^{5k+3})}}=q^{1/5}{\frac {H(q)}{G(q)}}}
oder mit der Ramanujanschen Thetafunktion
f
(
a
,
b
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
a
k
(
k
+
1
)
2
b
k
(
k
−
1
)
2
{\displaystyle f(a,b)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{\frac {k(k+1)}{2}}b^{\frac {k(k-1)}{2}}}
ist
R
(
q
)
=
q
1
/
5
f
(
−
q
,
−
q
4
)
f
(
−
q
2
,
−
q
3
)
{\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {f(-q,-q^{4})}{f(-q^{2},-q^{3})}}}
Der Zusammenhang des Kettenbruchs mit den Rogers-Ramanujan-Funktionen fand schon Rogers 1894 (und später unabhängig Ramanujan).
Der Kettenbruch lässt sich auch durch die Dedekindsche η-Funktion [ 16]
R
(
q
)
=
tan
{
1
2
arccot
[
η
W
(
q
1
/
5
)
2
η
W
(
q
5
)
+
1
2
]
}
{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(q^{1/5})}{2\eta _{W}(q^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}
Der alternierende Kettenbruch
S
(
q
)
{\displaystyle S(q)}
S
(
q
)
=
q
1
/
5
H
(
−
q
)
G
(
−
q
)
{\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {H(-q)}{G(-q)}}}
S
(
q
)
=
q
1
/
5
f
(
q
,
−
q
4
)
f
(
−
q
2
,
q
3
)
{\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {f(q,-q^{4})}{f(-q^{2},q^{3})}}}
S
(
q
)
=
R
(
q
4
)
R
(
q
)
R
(
q
2
)
{\displaystyle S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q)R(q^{2})}}}
S
(
q
)
=
q
1
/
5
G
(
q
)
G
(
q
2
)
H
(
q
4
)
H
(
q
)
H
(
q
2
)
G
(
q
4
)
{\displaystyle S(q)=q^{1/5}{\frac {G(q)G(q^{2})H(q^{4})}{H(q)H(q^{2})G(q^{4})}}}
Bearbeiten
Folgende Definitionen sind für die Jacobischen Theta-Nullwertfunktionen gültig:
ϑ
00
(
x
)
=
1
+
2
∑
n
=
1
∞
x
◻
(
n
)
{\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}}
ϑ
01
(
x
)
=
1
−
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
◻
(
n
)
{\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}}
ϑ
10
(
x
)
=
2
x
1
/
4
+
2
x
1
/
4
∑
n
=
1
∞
x
2
△
(
n
)
{\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}}
Und folgende Produktdefinitionen sind zu den genannten Summendefinitionen identisch:
ϑ
00
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
+
x
2
n
−
1
)
2
{\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}
ϑ
01
(
x
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
−
x
2
n
−
1
)
2
{\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}
ϑ
10
(
x
)
=
2
x
1
/
4
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
n
)
(
1
+
x
2
n
)
2
{\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}
Diese drei sogenannten Theta-Nullwert-Funktionen werden mit der Jacobischen Identität zueinander verknüpft:
ϑ
10
(
x
)
=
ϑ
00
(
x
)
4
−
ϑ
01
(
x
)
4
4
{\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}
Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson [ 17] [ 18] [ 19]
Die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktionen
R
(
x
)
{\displaystyle R(x)}
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
R
(
x
)
=
tan
⟨
1
2
arccot
{
ϑ
01
(
x
1
/
5
)
[
5
ϑ
01
(
x
5
)
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
]
2
ϑ
01
(
x
5
)
[
ϑ
01
(
x
)
2
−
ϑ
01
(
x
1
/
5
)
2
]
+
1
2
}
⟩
{\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
S
(
x
)
=
tan
⟨
1
2
arccot
{
ϑ
00
(
x
1
/
5
)
[
5
ϑ
00
(
x
5
)
2
−
ϑ
00
(
x
)
2
]
2
ϑ
00
(
x
5
)
[
ϑ
00
(
x
1
/
5
)
2
−
ϑ
00
(
x
)
2
]
−
1
2
}
⟩
{\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}
Das Element der fünften Wurzel kann auch vom Nomen der Thetafunktionen entfernt werden und auf die äußere Tangensfunktion übertragen werden. So kann eine Formel gebildet werden, welche nur mit einer von den drei Hauptthetafunktionen auskommt:
R
(
x
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
1
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
2
ϑ
01
(
x
5
)
2
]
}
1
/
5
tan
{
1
2
arccot
[
1
2
−
ϑ
01
(
x
)
2
2
ϑ
01
(
x
5
)
2
]
}
2
/
5
{\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}
S
(
x
)
=
tan
{
1
2
arctan
[
ϑ
00
(
x
)
2
2
ϑ
00
(
x
5
)
2
−
1
2
]
}
1
/
5
cot
{
1
2
arccot
[
ϑ
00
(
x
)
2
2
ϑ
00
(
x
5
)
2
−
1
2
]
}
2
/
5
{\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}
Der allgemeine Fall der quintischen Gleichungen in der Bring-Jerrard-Form hat eine nicht elementare Lösung basierend auf dem Satz von Abel-Ruffini und soll nun unter Verwendung des Elliptischen Nomens , der Jacobischen Thetafunktion , den beiden Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktionen R und S und auch den Identitäten der Hyperbolischen Lemniskatischen Funktionen behandelt werden:
x
5
+
5
x
=
4
c
{\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}
Die reelle Lösung für alle reellen Werte
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
x
=
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
⟩
2
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
⟩
2
×
×
1
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
⟩
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
2
⟩
2
×
×
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
5
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
1
/
5
⟩
2
−
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
5
⟩
3
4
ϑ
10
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
⟩
ϑ
01
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}
Alternativ hierzu kann dieselbe Lösung auch so dargestellt werden:
x
=
5
ϑ
00
(
Q
5
)
3
−
ϑ
00
(
Q
5
)
ϑ
00
(
Q
)
2
4
ϑ
10
(
Q
)
ϑ
01
(
Q
)
ϑ
00
(
Q
)
×
S
(
Q
)
2
+
R
(
Q
2
)
S
(
Q
)
×
[
R
(
Q
2
)
S
(
Q
)
+
R
(
Q
2
)
+
S
(
Q
)
−
1
]
m
i
t
Q
=
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
}
{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{3}-\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}\times {\frac {S(Q)^{2}+R(Q^{2})}{S(Q)}}\times {\bigl [}R(Q^{2})S(Q)+R(Q^{2})+S(Q)-1{\bigr ]}\\[4pt]&\mathrm {mit} \,\,Q=q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}\end{aligned}}}
Der Mathematiker Charles Hermite ermittelte den Wert des elliptischen Moduls k im Verhältnis zum Koeffizienten des Absolutterms der Bring-Jerrard-Form. In seinem Aufsatz „Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus“ beschrieb er die Berechnungsmethode für den elliptischen Modul in Bezug auf den absoluten Term. Die italienische Version seines Aufsatzes „Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado“ enthält genau auf Seite 258 die obere Bring-Jerrard-Gleichungsformel, die direkt nach dem elliptischen Modul gelöst werden kann:
k
=
(
2
c
2
+
2
+
2
c
4
+
1
)
−
1
/
2
(
c
4
+
1
+
1
+
c
)
=
ctlh
[
1
2
aclh
(
c
)
]
2
{\displaystyle k={\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}}
Mit dem Kürzel ctlh wird die Hyperbolisch lemniskatische Funktion Cotangens Lemniscatus Hyperbolicus ausgedrückt und das Kürzel aclh stellt den Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus dar.
Zwei Beispiele für diesen Lösungsalgorithmus seien nun erwähnt:
Erstes Rechenbeispiel:
Quintische Bring-Jerrard-Gleichung:
x
5
+
5
x
=
8
{\displaystyle x^{5}+5\,x=8}
Lösungsformel:
x
=
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
⟩
2
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
⟩
2
×
×
1
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
⟩
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
2
⟩
2
×
×
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
5
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
1
/
5
⟩
2
−
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
5
⟩
3
4
ϑ
10
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
⟩
ϑ
01
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}
Nachkommastellen des Nomens:
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
2
)
]
2
}
=
q
[
(
17
+
1
+
2
)
(
10
+
2
17
)
−
1
/
2
]
=
{\displaystyle q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2{\bigr )}{\bigl (}10+2{\sqrt {17}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=}
=
0,306
3466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144
…
{\displaystyle =0{,}3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144\ldots }
Nachkommastellen der Lösung:
x
=
1,167
0361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723
…
{\displaystyle x=1{,}1670361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723\ldots }
Zweites Rechenbeispiel:
Quintische Bring-Jerrard-Gleichung:
x
5
+
5
x
=
12
{\displaystyle x^{5}+5\,x=12}
Solution:
x
=
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
⟩
2
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
⟩
2
×
×
1
−
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
2
⟩
S
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
⟩
R
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
2
⟩
2
×
×
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
5
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
1
/
5
⟩
2
−
5
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
5
⟩
3
4
ϑ
10
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
⟩
ϑ
01
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
⟩
ϑ
00
⟨
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}
Nachkommastellen des Nomens:
q
{
ctlh
[
1
2
aclh
(
3
)
]
2
}
=
q
[
(
82
+
1
+
3
)
(
20
+
2
82
)
−
1
/
2
]
=
{\displaystyle q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {82}}+1}}+3{\bigr )}{\bigl (}20+2{\sqrt {82}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=}
=
0,370
6649511520240756244325221775686571518680899597473957509743879
…
{\displaystyle =0{,}3706649511520240756244325221775686571518680899597473957509743879\ldots }
Nachkommastellen der Lösung:
x
=
1,384
0917958231463592477551262671354748859350601806764501691889116
…
{\displaystyle x=1{,}3840917958231463592477551262671354748859350601806764501691889116\ldots }
Anwendung in der statistischen Mechanik
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Die Identitäten haben Anwendung in der statistischen Mechanik bei der Lösung des Hard Hexagon Modells durch Rodney Baxter 1980.[ 20]
George E. Andrews : The theory of partitions, Addison-Wesley 1976, Cambridge University Press 1998David Bressoud , Analytic and combinatorial generalizations of the Rogers-Ramanujan identities, American Mathematical Society 1980David Bressoud: An easy proof of the Rogers-Ramanujan identities, J. of Number Theory, Band 16, 1983, S. 235–241.
Godfrey Harold Hardy , E. M. Wright: Introduction to the theory of numbers, Oxford, Clarendon Press 1975 (S. 290ff, Kapitel 19-13)George E. Andrews , Rodney J. Baxter : A motivated proof of the Rogers-Ramanujan identities, American Mathematical Monthly, Band 96, 1989, S. 401–409.
↑ Rogers, Second memoir on the expansion of certain infinite products, Proc. London Math. Soc., Band 25, 1894, S. 318–343.
↑ Er teilte sie Percy Alexander MacMahon mit, der sie in seinem Buch Combinatory Analysis , Cambridge University Press, Band 2, 1916, veröffentlichte (ohne Beweis)
↑ Rogers, Ramanujan, Proof of certain identities in combinatory analysis, Cambr. Phil. Soc. Proc., Band 19, 1919, S. 211–216.
↑ Schur, Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche, Sitzungsberichte der Preuß. Akademie der Wissenschaften, Math.-Phys. Klasse, 1917, S. 302–321, auch in Schur, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, Springer, 1973.
↑ Bailey, Generalized hypergeometric series, Cambridge University Press 1935.
↑ Slater, Further identities of the Rogers-Ramanujan type, Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series, Band 54, 1952, S. 147–167.
↑ Andrews-Gordon Identity, Mathworld ↑ Bruce Berndt u. a., Ramanujans forty identities for the Rogers-Ramanujan-functions, pdf ↑ A003114 - OEIS. Abgerufen am 6. August 2022 . ↑ A003106 - OEIS. Abgerufen am 6. August 2022 . ↑ Eric W. Weisstein: Dedekind Eta Function. Abgerufen am 2. April 2022 (englisch). ↑ https://vdoc.pub/download/a-brief-introduction-to-theta-functions-6v41da306900 ↑ Rogers-Ramanujan Continued Fraction, Mathworld ↑ Bruce Berndt u. a., The Rogers-Ramanujan continued fraction, pdf ↑ Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son: The Rogers–Ramanujan continued fraction . In: Journal of Computational and Applied Mathematics . Band 105 , Nr. 1 , 1. Mai 1999, ISSN 0377-0427 S. 9–24 , doi :10.1016/S0377-0427(99)00033-3 sciencedirect.com [abgerufen am 7. September 2023]).
↑ Eric W. Weisstein : Rogers-Ramanujan Continued Fraction .MathWorld ↑ Eric W. Weisstein : Jacobi Theta Functions .MathWorld ↑ http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf ↑ DLMF: 20.5 Infinite Products and Related Results. Abgerufen am 13. August 2022 . ↑ Baxter, Exactly solvable models in statistical mechanics, Academic Press 1982. Zuerst Baxter, Journal of Physics, A, Band 13, 1980, L61-L70. Siehe auch George E. Andrews , The hard-hexagon model and Rogers-Ramanujan type identities, Proc. Nat. Acad. Sci., Band 78, 1981, S. 5290–5292, pdf
![{\displaystyle G_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d07a3f2fcf3ccbdf81690a49b5e929547be9a32)
![{\displaystyle H_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389ecd6ad80318ca96de224e73dbfb27b96e3831)
![{\displaystyle G_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a399eace9278b6add5753093435ce68435c7af)
![{\displaystyle H_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d9c3dfb31745a7d513814808b68a1feb67a48f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R[\exp(-\pi )]{}&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})=\\[4pt]&{}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}=\\[4pt]&{}=\Phi ^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{5}}\varpi )^{-3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {2}{5}}\varpi )^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{10}}\varpi )^{2}\operatorname {cl} ({\tfrac {3}{10}}\varpi )\operatorname {slh} ({\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi )\\[4pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8545232e28820665ddb12d39284bf7e8e32026f9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R[\exp(-2\pi )]{}&=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\\[4pt]&{}=\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aafcdedc58c15285c9d722ba77add17ebae688fd)
![{\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921df645dc18712bc30b2dc26b383ed568790118)
![{\displaystyle G(q)=(q;q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{4};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5d28ca114344ae62de7fdd79f6e67ce1f35ec7)
![{\displaystyle H(q)=(q^{2};q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{3};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4744780e486f5b783471a627dfe39aea205ef747)
![{\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64df8bb0e7d29427b9efa594854003a8f7cba686)
![{\displaystyle G_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa71bf7d59b0f6dd18300bf9f1d310c6e9ad6f01)
![{\displaystyle H_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b09ad01ff206298075b91270af4caed5ddefed)
![{\displaystyle R(q)=q^{1/5}\left[1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f7af859623f25abd646ef747f5e59c524098e7)
![{\displaystyle S(q)=q^{1/5}\left[1-{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1-{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0648407cccbe6d31b610509a434b406b7c5d73)
![{\displaystyle R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(q^{1/5})}{2\eta _{W}(q^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eae1fe4001f9563bdbc0ff1485d95395b49f0df)
![{\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c5ae92bc640738ba5a1e90fff0886f9124d337)
![{\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9657598f8a6a9f10c1b9539438cb129162e4b01)
![{\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299bb1183e03d5b242e6f4ea71794c316cc7710e)
![{\displaystyle R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b757250844d30ae1365b456dc76dededbef3a3b7)
![{\displaystyle S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161f136318a79bbfe64427b40acfe6cbf56acb32)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814fceb335bf690f140efd7f9ba8be0d55c6c6af)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{3}-\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}\times {\frac {S(Q)^{2}+R(Q^{2})}{S(Q)}}\times {\bigl [}R(Q^{2})S(Q)+R(Q^{2})+S(Q)-1{\bigr ]}\\[4pt]&\mathrm {mit} \,\,Q=q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ede1607c2283fffac8a2e6b75fe4aae61abe050)
![{\displaystyle k={\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce02c026c5f7e5f232dee21997ef77f7607cb8ee)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef53d58f4913f86148e32f10bc01fbadeef41abc)
![{\displaystyle q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2{\bigr )}{\bigl (}10+2{\sqrt {17}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6acb1beedfede49b09628974da592baccd84b8b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e7cd20adecd7d320eb790ac68c594bbede741e)
![{\displaystyle q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {82}}+1}}+3{\bigr )}{\bigl (}20+2{\sqrt {82}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709f6e2c9146c782a96a167a7b1fb9fd92f8bf8f)
