Satz von Forster-Swan

Der Satz von Forster-Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra, welches eine obere Schranke für die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls $M$ über einem kommutativen noetherschen Ring angibt. Das Besondere an der Aussage liegt darin, dass man, um die Schranke zu bilden, nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen $M_{\mathfrak {p}}$ benötigt, was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist.

Der Satz wurde 1964 in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schließlich 1967 von Richard G. Swan verallgemeinert.

Satz von Forster-Swan

Sei

• $R$ ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement,
• $M$ ein endlich-erzeugter $R$-Modul,
• ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal von $R$.
• $\mu (M),\mu _{\mathfrak {p}}(M)$ sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den $R$-Modul $M$ resp. den $R_{\mathfrak {p}}$-Modul $M_{\mathfrak {p}}$ zu erzeugen.

Um $\mu _{\mathfrak {p}}(M)$ zu berechnen, genügt es nach dem Lemma von Nakayama, die Dimension des Raumes $M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M$ über dem Körper $k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ zu berechnen, das heißt

$\mu _{\mathfrak {p}}(M)=\operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M).$

Aussage

Definiere die lokale ${\mathfrak {p}}$-Schranke

$b_{\mathfrak {p}}(M):=\mu _{\mathfrak {p}}(M)+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}),$

dann gilt

$\mu (M)\leq \sup _{\mathfrak {p}}\;\{b_{\mathfrak {p}}(M)\;|\;{\mathfrak {p}}\;{\text{ist prim}},\;M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.$

Literatur

• R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005. 
• R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).