Satz von Tverberg

Der Satz von Tverberg (englisch Tverberg’s theorem) ist ein Lehrsatz, der sowohl dem mathematischen Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der topologischen Kombinatorik zuzurechnen ist und der auf eine von dem norwegischen Mathematiker Helge Tverberg im Jahre 1966 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Er stellt eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Radon dar und ist Ausgangspunkt für eine große Anzahl von weiterreichenden Untersuchungen. Mit ihm eng verbunden ist der Satz von Bárány, aus dem der Tverberg'sche Satz hergeleitet werden kann.

Formulierung des Satzes

Illustration zu n=2 und r=3. N=7 Punkte gestatten eine Zerlegung der angegebenen Art.

Der Satz besagt:

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $n\geq 1$ und $r\geq 2$ und dazu die natürliche Zahl $N=(r-1)\cdot (n+1)$. Weiter gegeben sei im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die aus mindestens $N+1$ Raumpunkten bestehen soll.

Dann gilt:

Es gibt eine Zerlegung

$A=A_{1}{\dot {\cup }}A_{2}{\dot {\cup }}\,\dots {\dot {\cup }}A_{r}$

in $r$ paarweise disjunkte Teilmengen $A_{1},\ldots ,A_{r}\subseteq A$ derart, dass in der Schnittmenge

$\operatorname {conv} \left(A_{1}\right)\cap \operatorname {conv} \left(A_{2}\right)\cap \,\dots \cap \operatorname {conv} \left(A_{r}\right)$

der zugehörigen konvexen Hüllen mindestens ein gemeinsamer Raumpunkt liegt.

Anmerkungen

• Dem Satz von Tverberg ging eine entsprechende Vermutung des englischen Mathematikers Bryan John Birch voraus, die dieser in einer im Jahr 1959 vorgelegten Arbeit aufstellte.
• Der Satz ist optimal in dem Sinne, dass die Aussage des Satzes für Teilmengen mit höchstens $N$ Raumpunkten nicht länger Gültigkeit hat.
• Für $r=2$ erhält man den Satz von Radon.

Literatur

• Imre Bárány, Pablo Soberón: Tverberg's theorem is 50 years old: A survey. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 55, 2018, S. 459–492 (englisch, MR3854075). 
• Bryan J. Birch: On 3N points in a plane. In: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 55, 1959, S. 289–293 (englisch, MR0109315). 
• W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry (= Australian Mathematical Society Lecture Series. Band 12). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0 (englisch, MR1629043). 
• Mark Longueville: A Course in Topological Combinatorics (= Universitext). Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Dordrecht, London 2013, ISBN 978-1-4419-7909-4 (englisch, MR2976494). 
• Jiří Matoušek: Lectures on Discrete Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. Band 212). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2002, ISBN 0-387-95373-6 (englisch, MR1899299). 
• H. Tverberg: A generalization of Radon's theorem. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 41, 1966, S. 123–128 (englisch, MR0187147).