Spektrum (Graphentheorie)

Das Spektrum dient in der Graphentheorie zur Untersuchung der Eigenschaften von Graphen. Das entsprechende Gebiet wird als Algebraische Graphentheorie oder Spektrale Graphentheorie bezeichnet. Die Berechnung des Spektrums eines Graphen ermöglicht einen sehr effektiven Algorithmus zum Graphenzeichnen (Hall’s Algorithmus.) Auch Expandergraphen können mittels spektraler Methoden charakterisiert werden.

Definition

Als Spektrum eines Graphen bezeichnet man die (nach Größe geordnete) Folge der Eigenwerte seiner Adjazenzmatrix. Letztere werden auch als Eigenwerte des Graphen bezeichnet.

(Ungerichtete Graphen haben eine symmetrische Adjazenzmatrix und deshalb reelle Eigenwerte.)

Graph	Adjazenzmatrix	Eigenwerte
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\lambda _{1}=2.53948\ldots \\\lambda _{2}=1.08247\ldots \\\lambda _{3}=0.26114\ldots \\\lambda _{4}=-0.54063\ldots \\\lambda _{5}=-1.20607\ldots \\\lambda _{6}=-2.13639\ldots \\\end{pmatrix}}$

Häufig werden auch die Eigenwerte der Laplace-Matrix des Graphen als sein Spektrum bezeichnet.

Beispiele

Die folgenden Beispiele beziehen sich auf das Spektrum der Adjazenzmatrix.

• Der vollständige Graph auf $n$ Knoten hat das Spektrum
  $(n-1,-1,-1,\ldots ,-1)$.
• Der vollständig bipartite Graph $K_{mn}$ hat das Spektrum
  $({\sqrt {mn}},0,\ldots ,0,-{\sqrt {mn}})$.
• Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn sein Spektrum symmetrisch bzgl. $0$ ist.
• Der größte Eigenwert eines $k$-regulären Graphen ist $k$ (Satz von Frobenius), seine Vielfachheit ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten des Graphen.

Literatur

• Dragoš M. Cvetković, Michael Doob, Horst Sachs: Spectra of graphs. Theory and applications. Third edition. Johann Ambrosius Barth, Heidelberg 1995, ISBN 3-335-00407-8.
• Norman Biggs: Algebraic graph theory. Second edition. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge 1993, ISBN 0-521-45897-8.
• Chris Godsil, Gordon Royle: Algebraic graph theory (Graduate Texts in Mathematics, 207). Springer-Verlag, New York 2001, ISBN 0-387-95241-1; 0-387-95220-9.

Weblinks

• Brouwer-Haemers: Graph Spectrum
• Spielman: Spectral Graph Theory (PDF; 476 kB)
• Gerrit Pflüger: Hauptseminar: Spektren von Graphen. 1. Vortrag: Grundlagen der Graphentheorie/Beispiele. Sommersemester 2012. Uni Mainz.
• Chung: Diameters and Eigenvalues (PDF; 472 kB)