Spinc-Struktur

Eine Spinᶜ-Struktur ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine klassifizierende Abbildung, die für spezielle orientierbare Mannigfaltigkeiten existieren kann. Solche Mannigfaltigkeiten werden Spinᶜ-Mannigfaltigkeiten genannt. C steht dabei für die komplexen Zahlen, welche mit $\mathbb {C}$ notiert werden und in der Definition der zugrundeliegenden Spinᶜ-Gruppe auftauchen. In vier Dimensionen zerfällt eine Spinᶜ-Struktur in zwei komplexe Ebenenbündel, welche für die Beschreibung von negativer und positiver Chiralität von Spinoren dient, etwa bei der Dirac-Gleichung aus der relativistischen Quantenfeldtheorie. Eine zentrale Anwendung finden Spinᶜ-Strukturen ebenso in der Seiberg-Witten-Theorie, in welcher diese für das Studium von glatten Strukturen auf 4-Mannigfaltigkeiten verwendet werden.

Definition

Sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierbare Mannigfaltigkeit. Ihr Tangentialbündel $TM$ wird über den Rückzug von Vektorbündeln durch eine klassifizierende Abbildung $M\rightarrow \operatorname {BSO} (n)$ in den klassifizierenden Raum $\operatorname {BSO} (n)$ der speziellen orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ beschrieben. Diese kann über die von der kanonischen Projektion $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)$ induzierte Abbildung $\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {BSO} (n)$ faktorisieren. In diesem Fall hebt sich die klassifizierende Abbildung des Tangentialbündels zu einer Abbildung $M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)$ in den klassifizierenden Raum $\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)$ der Spinᶜ-Gruppe $\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)$, welche Spinᶜ-Struktur genannt wird.

Die möglichen Hebungen entsprechen durch Bijektion eineindeutig der Homotopieklasse $[M,\operatorname {BU} (1)]$ der stetigen Abbildungen in den klassifizierenden Raum $\operatorname {BU} (1)\cong \operatorname {BSO} (2)\cong \mathbb {C} P^{\infty }$ der ersten unitären Gruppe $\operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)$, welche als andere Komponente der Spinᶜ-Gruppe die Transformation der Fasern kontrolliert. Da $\operatorname {BU} (1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)$ ebenfalls ein Eilenberg-MacLane-Raum ist, welcher Homologie klassifiziert, werden Spinᶜ-Strukturen alternativ durch die zweite integrale Homologie klassifiziert:

$[M,\operatorname {BU} (1)]\cong [M,K(\mathbb {Z} ,2)]\cong H^{2}(M,\mathbb {Z} ).$

Allgemeiner wirkt $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$ frei und transitiv auf den Spinᶜ-Strukturen.

Wegen der kanonischen Projektion $\operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {U} (1)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {U} (1)$induziert jede Spinᶜ-Struktur ein kanonisches $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel oder äquivalent ein komplexes Linienbündel.

Eigenschaften

• Jede Spin-Struktur erzeugt eine kanonische Spinᶜ-Struktur. Die Umkehrung gilt nicht, wie die komplexe projektive Ebene $\mathbb {C} P^{2}$ zeigt.
• Jede Spinᶜ-Struktur erzeugt eine kanonische Spinʰ-Struktur. Die Umkehrung gilt nicht, wie die Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ zeigt.
• Eine Mannigfaltigkeit $M$ besitzt genau dann eine Spinᶜ-Struktur, wenn ihre dritte integrale Stiefel-Whitney-Klasse $W_{3}(M)$ verschwindet, also die zweite Stiefel-Whitney-Klasse $w_{2}(M)$ im Bild der kanonischen Projektion $H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})$ liegt.
• Jede orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit vier oder weniger Dimensionen hat eine Spinᶜ-Struktur.
• Jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit hat eine Spinᶜ-Struktur.

Folgende Eigenschaften gelten allgemeiner für die Hebung auf die Lie-Gruppe $\operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}$, wobei speziell für $k=2$ gilt:

• Ist $M\times N$ eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit, dann sind $M$ und $N$ jeweils Spinᶜ-Mannigfaltigkeiten.
• Ist $M$ eine Spin-Mannigfaltigkeit, dann ist $M\times N$ genau dann eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit, wenn $N$ eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit ist.
• Für Spinᶜ-Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ gleicher Dimension ist ihre verbundene Summe $M\#N$ ebenfalls eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit.
• Es sind äquivalent:
  • $M$ ist eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit.
  • Es gibt ein Ebenenbündel $E\twoheadrightarrow M$, sodass $TM\oplus E$ eine Spin-Struktur hat, also $w_{2}(TM)=w_{2}(E)$.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen mehr immersieren.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen mehr einbetten.

Literatur

• Blake Mellor: Spinᶜ manifolds. 18. September 1995 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 
• Stable complex and Spinᶜ-structures. (englisch, ncatlab.org [PDF]). 
• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory. (englisch, nd.edu [PDF]). 
• Michael Albanese und Aleksandar Milivojević: Spinʰ and further generalisations of spin. In: Journal of Geometry and Physics. Band 164, Juli 2021, S. 104–174, doi:10.1016/j.geomphys.2022.104709, arxiv:2008.04934 [abs] (englisch). 

Weblinks

• spinᶜ structure auf nLab (englisch)