Streuungsmaß (Statistik)

Begriff der Statistik
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Streuungsmaße, auch Dispersionsmaße (lateinisch dispersio „Zerstreuung“, von dispergere „verteilen, ausbreiten, zerstreuen“) oder Streuungsparameter genannt, fassen in der deskriptiven Statistik verschiedene Maßzahlen zusammen, die die Streubreite von Beobachtungswerten beziehungsweise einer Häufigkeitsverteilung um einen geeigneten Lageparameter herum beschreiben. Die verschiedenen Berechnungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell durch ihre Beeinflussbarkeit beziehungsweise Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern.

Anforderungen

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Es sei   ein Vektor von Beobachtungwerten (Daten) und   eine Funktion. Eine Funktion   heißt ein Streuungsmaß, wenn sie im Allgemeinen folgende Anforderungen erfüllt:

  •   ist eine nichtnegative reelle Zahl, die Null ist, wenn alle Beobachtungen gleich sind   (in den Daten ist keinerlei Variabilität vorhanden), und zunimmt, wenn die Daten vielfältiger werden. Wenn mindestens zwei Merkmalswerte voneinander verschieden sind, dann streuen die Daten untereinander bzw. um einen Mittelwert, was auch beim Streuungsmaß zum Ausdruck kommen sollte.
  • Bei einem Streuungsmaß wird Nichtnegativität gefordert, da bei Streuung „das Ausmaß“ statt „die Richtung“ konstituierend ist. Ein Streuungsmaß sollte also umso größer sein, je stärker Beobachtungswerte voneinander abweichen. Noch strenger wird oft gefordert, dass sich ein Streuungsmaß bei einer Ersetzung eines Beobachtungswertes durch einen neuen Merkmalswert nicht verkleinern darf.
  •   ist translationsinvariant[1], d. h. eine Verschiebung des Nullpunktes hat keinen Einfluss auf die Verteilung. Es muss also folgendes gelten:  
  • Es ist auch wünschenswert, dass das Streuungsmaß gegenüber Maßstabsänderungen invariant ist.[2]

Ein einfacher Ansatz für ein Streuungsmaß wäre, die Differenzen der Werte vom empirischen Mittel aufzusummieren. Dies führt zu

 

Diese Summe ergibt allerdings stets 0, weil sich positive und negative Summanden gegenseitig aufheben (Schwerpunkteigenschaft). Das ist also nicht geeignet als Streuungsmaß, da der Wert nicht zunimmt, wenn die Variabilität der Daten steigt. Möglichkeiten bestehen also darin, die Absolutbeträge oder die Quadrate der Abweichungen zu summieren.

Streuungsmaßzahlen in der beschreibenden (deskriptiven) Statistik

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Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass   reellwertige Beobachtungswerte vorliegen, die inhaltlich zu einer Variablen gehören. Diese können Messwerte sein. Es kann sich um Stichprobenwerte handeln, es kann sich aber auch um die Beobachtungswerte einer Gesamtheit handeln, die nicht als Stichprobe aufgefasst wird. Mit

 

ist der arithmetische Mittelwert der Beobachtungswerte bezeichnet.

Streuung um das arithmetische Mittel

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Summe der Abweichungsquadrate

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Ein intuitives Streuungsmaß ist die Summe der Abweichungsquadrate, bei der die quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittelwert aufsummiert werden,

 

Empirische Varianz

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Einer der wichtigsten Streuungsparameter ist die Varianz der Beobachtungswerte, die als

 

definiert ist und die äquivalente Darstellung

 

besitzt.[3] Eine weitere äquivalente Darstellung, die keinen Bezug auf den arithmetischen Mittelwert der Beobachtungswerte nimmt, ist

 [4]

Empirische Standardabweichung

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Die Standardabweichung ist definiert als die Wurzel aus der Varianz und ist demnach

 

Ein wesentlicher Unterschied zur Varianz ist, dass die Standardabweichung dieselbe Dimension und damit dieselben Einheiten wie die Beobachtungswerte besitzt.

Mittlere absolute Abweichung

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Im Falle einer konkreten Stichprobe   mit dem arithmetischen Mittel   wird sie errechnet durch

 

Die mittlere absolute Abweichung wird in der mathematischen Statistik meist zugunsten der quadratischen Abweichung umgangen, welche analytisch leichter zu behandeln ist. Die in der Definition verwendete Betragsfunktion ist nicht überall differenzierbar, was die Berechnung des Minimums erschwert.

Aufgrund der Ungleichung vom arithmetisch-quadratischen Mittel ist die mittlere absolute Abweichung kleiner oder gleich der Standardabweichung (Gleichheit gilt nur für konstante Zufallsgrößen).

Streuung um den Median

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Quantilsabstand

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Der Quantilsabstand ist die Differenz zwischen dem  - und  -Quantil:

  mit  

Innerhalb des   liegen etwa   Prozent aller Beobachtungswerte.

Interquartilsabstand

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Der Interquartilsabstand (engl. interquartile range), abgekürzt IQR, wird als Differenz der Quartile   und   berechnet:

 

Innerhalb des IQR liegen 50 % aller Messwerte. Er ist – wie auch der Median bzw.   – unempfindlich gegenüber Ausreißern. Es lässt sich zeigen, dass er einen Bruchpunkt von   hat.

Der Interquartilsabstand ist gleich dem Quantilsabstand  

Mittlere absolute Abweichung vom Median

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Für   beobachtete Werte   mit dem (eindeutigen) Median   ist die Mittlere absolute Abweichung vom Median als

 

definiert. Aufgrund der Extremaleigenschaft des Medians gilt im Vergleich mit der mittleren absoluten Abweichung stets

 ,

d. h. die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ist erst recht kleiner als die Standardabweichung.

Median der absoluten Abweichungen vom Median

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Für Beobachtungswerte   ist die mittlere absolute Abweichung (engl. median absolute deviation, auch MedMed), abgekürzt MAD, ist definiert durch

 

Die mittlere absolute Abweichung ist ein robuster Schätzer für die Standardabweichung. Es lässt sich zeigen, dass sie einen Bruchpunkt von   hat.

Weitere Streuungsmaße

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Spannweite

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Die Spannweite (englisch range)   berechnet sich als Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:

 

Da die Spannweite nur aus den zwei Extremwerten berechnet wird, ist sie nicht robust gegenüber Ausreißern.

Ginis mittlere Differenz

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Für Beobachtungswerte   heißt die Maßzahl

 

Ginis mittlere Differenz.[5]

Mittlere absolute Differenz

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Für Beobachtungswerte   ist

 

die mittlere absolute Differenz oder mittlere Differenz.[6]

Geometrische Standardabweichung

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Die geometrische Standardabweichung ist ein Streuungsmaß um das geometrische Mittel.

Relative Streuungsmaße

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Relative Streuungsmaße heißen auch relative Streumaße oder Dispersionskoeffizienten.[6] Ein relatives Streumaß ist typischerweise ein Quotient aus einem Streuungsmaß und einem Lagemaß.[6]

Relative Spannweite

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Die relative Spannweite berechnet sich als Quotient aus der Spannweite und der Bereichsmitte;[6]

 

Variationskoeffizient

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Der empirische Variationskoeffizient wird gebildet als Quotient aus empirischer Standardabweichung   und arithmetischem Mittel  :

 .[6]

Er ist dimensionslos und somit nicht einheitenbehaftet.

Ginikoeffizient

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Zwischen Ginis mittlerer Differenz  , dem arithmetischen Mittelwert   und dem Gini-Koeffizienten   besteht der Zusammenhang

 [7]

Damit ist der Gini-Koeffizient als Quotient aus einem Streuungsmaß und einem Lagemaß ein relatives Streuungsmaß.[8]

Relative durchschnittliche Abweichung vom Median

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Die relative durchschnittliche Abweichung vom Median wird gebildet als Quotient aus durchschnittlicher Abweichung vom Median und Median;[6]

 

Relativer Quartilsabstand

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Der relative Quartilsabstand wird gebildet als Quotient aus Quartilsabstand und Median;[6]

 

Streuungsmaßzahlen in der schließenden (induktiven) Statistik

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In der induktiven Statistik sind die Beobachtungswerte   Stichprobenwerte aus einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit und Realisierungen von Stichprobenvariablen   mit einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenvektors  .

Dabei liegt häufig der Spezialfall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen vor. In diesem Spezialfall können viele Streuungsmaßzahlen der deskriptiven Statistik als Schätzwerte analoger Streuungsmaßzahlen der Grundgesamtheit verwendet werden. Dass dieses Vorgehen – zumindest für große Stichprobenumfänge – meistens zu plausiblen Schätzern führt, garantiert der Hauptsatz der mathematischen Statistik (Satz von Glivenko und Cantelli), der besagt, dass sich die Häufigkeitsverteilung der Stichprobenwerte für wachsenden Stichprobenumfang in einem sehr weitgehenden Sinn der Verteilung der Grundgesamtheit annähert.

Stichprobenvarianz

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In der schließenden Statistik wird die aus den Stichprobenwerten   berechnete Varianz   häufig als Stichprobenvarianz bezeichnet. Die aus den Stichprobenwerte berechnete Varianz wird auch als empirische Varianz bezeichnet, um diese von der Varianz der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Bei stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Stichprobenvariablen ist die Varianz der Grundgesamtheit   die Varianz der identisch verteilten Stichprobenvariablen  , es gilt also   für  .

Die aus den Stichprobenwerten berechnete Varianz   ist ein realisierter Wert der Stichprobenfunktion

 

die eine Schätzfunktion für die Grundgesamtheitsvarianz   ist.

Korrigierte Stichprobenvarianz

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Wenn die Stichprobenwerte als realisierte Werte stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen angesehen werden können und wenn mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Varianz   der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, dann wird häufig anstelle der Stichprobenvarianz   die sogenannte korrigierte Stichprobenvarianz

 

verwendet. Der Grund ist, dass unter den gemachten Voraussetzungen die zugehörige Stichprobenfunktion

 

eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz der Grundgesamtheit ist, es gilt also

 

Dagegen hat die Schätzfunktion   den Erwartungswert

 

Die Schätzfunktion   ist also keine erwartungstreue Schätzfunktion für   und hat die Verzerrung  .

Die Erwartungstreue der Schätzfunktion   für den Parameter   der Grundgesamtheit hängt entscheidend von der stochastischen Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen ab und ist bei allgemeineren Stichprobenplänen (Ziehen mit Zurücklegen, geschichtete Stichprobenziehung usw.) nicht mehr automatisch erfüllt, so dass die Rechtfertigung der Korrektur entfällt.

In einem rein beschreibenden Kontext der deskriptiven Statistik, in dem es nicht um eine Schätzung eines Parameters der Grundgesamtheit geht, ist die Verwendung der korrigierten Stichprobenvarianz   anstelle der Stichprobenvarianz   nicht zu begründen. „Statt mit dem Faktor   werden die Varianz und die die Standardabweichung gelegentlich mit dem Faktor   definiert, besonders in manchen Taschenrechnern und statistischen Computerprogrammen. Eine Begründung des Faktors   ist nur im Rahmen der schließenden Statistik möglich.“[4]

Korrigierte Stichprobenstandardabweichung

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Wenn in der induktiven Statistik mit Hilfe einer Streuungsmaßzahl der Stichprobe auf die Standardabweichung   der Grundgesamtheit geschlossen werden soll, wird häufig die korrigierte Stichprobenstandardabweichung

 

als Schätzwert für die Standardabweichung   der Grundgesamtheit verwendet. Allerdings ist die zugehörige Schätzfunktion

 

auch im Fall stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Stichprobenvariablen in der Regel keine erwartungstreue Schätzfunktion für den Parameter   der Grundgesamtheit.

Im Spezialfall einer normalverteilten Grundgesamtheit ist durch eine modifizierte Schätzfunktion eine erwartungstreue Schätzung der Standardabweichung möglich.

Alternative Bezeichnungen und Notationen

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In vielen Anwendungsbereichen, in denen die Stichprobeninterpretation der beobachteten Werte der Standardfall ist (z. B. Messungen in der Technik und Biometrie) wird die korrigierte Stichprobenvarianz als die Stichprobenvarianz bezeichnet und dann meistens mit   bezeichnet. Auch wird die korrigierte Stichprobenvarianz als empirische Streuung oder als empirische Varianz bezeichnet und die zugehörige Stichprobenfunktion als Stichprobenstreuung.[9]

In Darstellungen der induktiven Statistik wird häufig das Symbol   für die oben mit   bezeichnete korrigierte Stichprobenvarianz verwendet und diese einfach als Stichprobenvarianz (englisch sample variance) bezeichnet.[10][11] Analog bezeichnet dann   die korrigierte Stichprobenstandardabweichung und wird einfach als Stichprobenstandardabweichung (englisch sample standard deviation) bezeichnet.[12]

Streuungsmaßzahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie charakterisieren Streuungsmaßzahlen Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die entsprechenden Maßzahlen sind teilweise analog zu den Maßzahlen der deskriptiven Statistik konstruiert. In der mathematischen Statistik werden Methoden zu Charakterisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch beschreibende Kennzahlen der deskriptiven Statistik zugerechnet.[13]

Graphische Darstellungsformen

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Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Stochastik. Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-45382-6, S. 83.
  2. Hans Friedrich Eckey et al.: Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele., S. 74. (1. Aufl. 1992; 3. Aufl. 2002, ISBN 3-409-32701-0). Die 4. Aufl. 2005 und die 5. Aufl. 2008 erschienen unter dem Titel Deskriptive Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele).
  3. Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 2008, S. 43.
  4. a b Karl Mosler, Friedrich Schmid: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik. 2009, S. 43.
  5. Karl Mosler, Friedrich Schmid: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik. 2009, S. 46.
  6. a b c d e f g Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 2008, S. 45.
  7. Karl Mosler, Friedrich Schmid: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik. 2009, S. 95.
  8. Karl Mosler, Friedrich Schmid: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik. 2009, S. 96.
  9. Streuungsmaße (measures of dispersion). In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. S. 428–429.
  10. Helge Toutenburg: Induktive Statistik – Eine Einführung mit SPSS für Windows. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-66434-3, S. 116.
  11. George Casella, Roger L. Berger: Statistical Inference. 2. Auflage. Duxbury, Pacific Grove 2002, ISBN 0-534-24312-6, Def. 5.2.3, S. 212.
  12. George Casella, Roger L. Berger: Statistical Inference. 2. Auflage. Duxbury, Pacific Grove 2002, ISBN 0-534-24312-6, Def. 5.2.3, S. 212.
  13. Siehe dazu Chapter 3, Descriptive Statistics in Johann Pfanzagl: Mathematical Statistics – Essays on History and Methodology. Springer, Berlin, Heidelberg 2017, ISBN 978-3-642-31083-6, doi:10.1007/978-3-642-31084-3.

Literatur

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Wiktionary: Streuung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen