Die folgenden sechs Taxicab-Zahlen sind bekannt (Folge A011541 in OEIS ):
Ta
(
1
)
=
2
=
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)&=2\\&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
2
)
=
1
729
=
1
3
+
12
3
=
9
3
+
10
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)&=1\,729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
3
)
=
87
539
319
=
167
3
+
436
3
=
228
3
+
423
3
=
255
3
+
414
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)&=87\,539\,319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
4
)
=
6
963
472
309
248
=
2
421
3
+
19
083
3
=
5
436
3
+
18
948
3
=
10
200
3
+
18
072
3
=
13
322
3
+
16
630
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)&=6\,963\,472\,309\,248\\&=2\,421^{3}+19\,083^{3}\\&=5\,436^{3}+18\,948^{3}\\&=10\,200^{3}+18\,072^{3}\\&=13\,322^{3}+16\,630^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
5
)
=
48
988
659
276
962
496
=
38
787
3
+
365
757
3
=
107
839
3
+
362
753
3
=
205
292
3
+
342
952
3
=
221
424
3
+
336
588
3
=
231
518
3
+
331
954
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)&=48\,988\,659\,276\,962\,496\\&=38\,787^{3}+365\,757^{3}\\&=107\,839^{3}+362\,753^{3}\\&=205\,292^{3}+342\,952^{3}\\&=221\,424^{3}+336\,588^{3}\\&=231\,518^{3}+331\,954^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
6
)
=
24
153
319
581
254
312
065
344
=
582
162
3
+
28
906
206
3
=
3
064
173
3
+
28
894
803
3
=
8
519
281
3
+
28
657
487
3
=
16
218
068
3
+
27
093
208
3
=
17
492
496
3
+
26
590
452
3
=
18
289
922
3
+
26
224
366
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)&=24\,153\,319\,581\,254\,312\,065\,344\\&=582\,162^{3}+28\,906\,206^{3}\\&=3\,064\,173^{3}+28\,894\,803^{3}\\&=8\,519\,281^{3}+28\,657\,487^{3}\\&=16\,218\,068^{3}+27\,093\,208^{3}\\&=17\,492\,496^{3}+26\,590\,452^{3}\\&=18\,289\,922^{3}+26\,224\,366^{3}\end{aligned}}}
Für die nachfolgenden sechs Taxicab-Zahlen sind obere Schranken bekannt:[ 3]
Ta
(
7
)
≤
24
885
189
317
885
898
975
235
988
544
=
2
648
660
966
3
+
1
847
282
122
3
=
2
685
635
652
3
+
1
766
742
096
3
=
2
736
414
008
3
+
1
638
024
868
3
=
2
894
406
187
3
+
860
447
381
3
=
2
915
734
948
3
+
459
531
128
3
=
2
918
375
103
3
+
309
481
473
3
=
2
919
526
806
3
+
58
798
362
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)&\leq 24\,885\,189\,317\,885\,898\,975\,235\,988\,544\\&=2\,648\,660\,966^{3}+1\,847\,282\,122^{3}\\&=2\,685\,635\,652^{3}+1\,766\,742\,096^{3}\\&=2\,736\,414\,008^{3}+1\,638\,024\,868^{3}\\&=2\,894\,406\,187^{3}+860\,447\,381^{3}\\&=2\,915\,734\,948^{3}+459\,531\,128^{3}\\&=2\,918\,375\,103^{3}+309\,481\,473^{3}\\&=2\,919\,526\,806^{3}+58\,798\,362^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
8
)
≤
50
974
398
750
539
071
400
590
819
921
724
352
=
299
512
063
576
3
+
288
873
662
876
3
=
336
379
942
682
3
+
234
604
829
494
3
=
341
075
727
804
3
+
224
376
246
192
3
=
347
524
579
016
3
+
208
029
158
236
3
=
367
589
585
749
3
+
109
276
817
387
3
=
370
298
338
396
3
+
58
360
453
256
3
=
370
633
638
081
3
+
39
304
147
071
3
=
370
779
904
362
3
+
7
467
391
974
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)&\leq 50\,974\,398\,750\,539\,071\,400\,590\,819\,921\,724\,352\\&=299\,512\,063\,576^{3}+288\,873\,662\,876^{3}\\&=336\,379\,942\,682^{3}+234\,604\,829\,494^{3}\\&=341\,075\,727\,804^{3}+224\,376\,246\,192^{3}\\&=347\,524\,579\,016^{3}+208\,029\,158\,236^{3}\\&=367\,589\,585\,749^{3}+109\,276\,817\,387^{3}\\&=370\,298\,338\,396^{3}+58\,360\,453\,256^{3}\\&=370\,633\,638\,081^{3}+39\,304\,147\,071^{3}\\&=370\,779\,904\,362^{3}+7\,467\,391\,974^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
9
)
≤
136
897
813
798
023
990
395
783
317
207
361
432
493
888
=
41
632
176
837
064
3
+
40
153
439
139
764
3
=
46
756
812
032
798
3
+
32
610
071
299
666
3
=
47
409
526
164
756
3
+
31
188
298
220
688
3
=
48
305
916
483
224
3
+
28
916
052
994
804
3
=
51
094
952
419
111
3
+
15
189
477
616
793
3
=
51
471
469
037
044
3
+
8
112
103
002
584
3
=
51
518
075
693
259
3
+
5
463
276
442
869
3
=
51
530
042
142
656
3
+
4
076
877
805
588
3
=
51
538
406
706
318
3
+
1
037
967
484
386
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)&\leq 136\,897\,813\,798\,023\,990\,395\,783\,317\,207\,361\,432\,493\,888\\&=41\,632\,176\,837\,064^{3}+40\,153\,439\,139\,764^{3}\\&=46\,756\,812\,032\,798^{3}+32\,610\,071\,299\,666^{3}\\&=47\,409\,526\,164\,756^{3}+31\,188\,298\,220\,688^{3}\\&=48\,305\,916\,483\,224^{3}+28\,916\,052\,994\,804^{3}\\&=51\,094\,952\,419\,111^{3}+15\,189\,477\,616\,793^{3}\\&=51\,471\,469\,037\,044^{3}+8\,112\,103\,002\,584^{3}\\&=51\,518\,075\,693\,259^{3}+5\,463\,276\,442\,869^{3}\\&=51\,530\,042\,142\,656^{3}+4\,076\,877\,805\,588^{3}\\&=51\,538\,406\,706\,318^{3}+1\,037\,967\,484\,386^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
10
)
≤
7
335
345
315
241
855
602
572
782
233
444
632
535
674
275
447
104
=
15
695
330
667
573
128
3
+
15
137
846
555
691
028
3
=
17
627
318
136
364
846
3
+
12
293
996
879
974
082
3
=
17
873
391
364
113
012
3
+
11
757
988
429
199
376
3
=
18
211
330
514
175
448
3
+
10
901
351
979
041
108
3
=
19
262
797
062
004
847
3
+
5
726
433
061
530
961
3
=
19
404
743
826
965
588
3
+
3
058
262
831
974
168
3
=
19
422
314
536
358
643
3
+
2
059
655
218
961
613
3
=
19
426
825
887
781
312
3
+
1
536
982
932
706
676
3
=
19
429
379
778
270
560
3
+
904
069
333
568
884
3
=
19
429
979
328
281
886
3
+
391
313
741
613
522
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7\,335\,345\,315\,241\,855\,602\,572\,782\,233\,444\,632\,535\,674\,275\,447\,104\\&=15\,695\,330\,667\,573\,128^{3}+15\,137\,846\,555\,691\,028^{3}\\&=17\,627\,318\,136\,364\,846^{3}+12\,293\,996\,879\,974\,082^{3}\\&=17\,873\,391\,364\,113\,012^{3}+11\,757\,988\,429\,199\,376^{3}\\&=18\,211\,330\,514\,175\,448^{3}+10\,901\,351\,979\,041\,108^{3}\\&=19\,262\,797\,062\,004\,847^{3}+5\,726\,433\,061\,530\,961^{3}\\&=19\,404\,743\,826\,965\,588^{3}+3\,058\,262\,831\,974\,168^{3}\\&=19\,422\,314\,536\,358\,643^{3}+2\,059\,655\,218\,961\,613^{3}\\&=19\,426\,825\,887\,781\,312^{3}+1\,536\,982\,932\,706\,676^{3}\\&=19\,429\,379\,778\,270\,560^{3}+904\,069\,333\,568\,884^{3}\\&=19\,429\,979\,328\,281\,886^{3}+391\,313\,741\,613\,522^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
11
)
≤
2
818
537
360
434
849
382
734
382
145
310
807
703
728
251
895
897
826
621
632
=
11
410
505
395
325
664
056
3
+
11
005
214
445
987
377
356
3
=
12
815
060
285
137
243
042
3
+
8
937
735
731
741
157
614
3
=
12
993
955
521
710
159
724
3
+
8
548
057
588
027
946
352
3
=
13
239
637
283
805
550
696
3
+
7
925
282
888
762
885
516
3
=
13
600
192
974
314
732
786
3
+
6
716
379
921
779
399
326
3
=
14
004
053
464
077
523
769
3
+
4
163
116
835
733
008
647
3
=
14
107
248
762
203
982
476
3
+
2
223
357
078
845
220
136
3
=
14
120
022
667
932
733
461
3
+
1
497
369
344
185
092
651
3
=
14
123
302
420
417
013
824
3
+
1
117
386
592
077
753
452
3
=
14
125
159
098
802
697
120
3
+
657
258
405
504
578
668
3
=
14
125
594
971
660
931
122
3
+
284
485
090
153
030
494
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 2\,818\,537\,360\,434\,849\,382\,734\,382\,145\,310\,807\,703\,728\,251\,895\,897\,826\,621\,632\\&=11\,410\,505\,395\,325\,664\,056^{3}+11\,005\,214\,445\,987\,377\,356^{3}\\&=12\,815\,060\,285\,137\,243\,042^{3}+8\,937\,735\,731\,741\,157\,614^{3}\\&=12\,993\,955\,521\,710\,159\,724^{3}+8\,548\,057\,588\,027\,946\,352^{3}\\&=13\,239\,637\,283\,805\,550\,696^{3}+7\,925\,282\,888\,762\,885\,516^{3}\\&=13\,600\,192\,974\,314\,732\,786^{3}+6\,716\,379\,921\,779\,399\,326^{3}\\&=14\,004\,053\,464\,077\,523\,769^{3}+4\,163\,116\,835\,733\,008\,647^{3}\\&=14\,107\,248\,762\,203\,982\,476^{3}+2\,223\,357\,078\,845\,220\,136^{3}\\&=14\,120\,022\,667\,932\,733\,461^{3}+1\,497\,369\,344\,185\,092\,651^{3}\\&=14\,123\,302\,420\,417\,013\,824^{3}+1\,117\,386\,592\,077\,753\,452^{3}\\&=14\,125\,159\,098\,802\,697\,120^{3}+657\,258\,405\,504\,578\,668^{3}\\&=14\,125\,594\,971\,660\,931\,122^{3}+284\,485\,090\,153\,030\,494^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
12
)
≤
73
914
858
746
493
893
996
583
617
733
225
161
086
864
012
865
017
882
136
931
801
625
152
=
33
900
611
529
512
547
910
376
3
+
32
696
492
119
028
498
124
676
3
=
38
073
544
107
142
749
077
782
3
+
26
554
012
859
002
979
271
194
3
=
38
605
041
855
000
884
540
004
3
+
25
396
279
094
031
028
611
792
3
=
39
334
962
370
186
291
117
816
3
+
23
546
015
462
514
532
868
036
3
=
40
406
173
326
689
071
107
206
3
+
19
954
364
747
606
595
397
546
3
=
41
606
042
841
774
323
117
699
3
+
12
368
620
118
962
768
690
237
3
=
41
912
636
072
508
031
936
196
3
+
6
605
593
881
249
149
024
056
3
=
41
950
587
346
428
151
112
631
3
+
4
448
684
321
573
910
266
121
3
=
41
960
331
491
058
948
071
104
3
+
3
319
755
565
063
005
505
892
3
=
41
965
847
682
542
813
143
520
3
+
1
952
714
722
754
103
222
628
3
=
41
965
889
731
136
229
476
526
3
+
1
933
097
542
618
122
241
026
3
=
41
967
142
660
804
626
363
462
3
+
845
205
202
844
653
597
674
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 73\,914\,858\,746\,493\,893\,996\,583\,617\,733\,225\,161\,086\,864\,012\,865\,017\,882\,136\,931\,801\,625\,152\\&=33\,900\,611\,529\,512\,547\,910\,376^{3}+32\,696\,492\,119\,028\,498\,124\,676^{3}\\&=38\,073\,544\,107\,142\,749\,077\,782^{3}+26\,554\,012\,859\,002\,979\,271\,194^{3}\\&=38\,605\,041\,855\,000\,884\,540\,004^{3}+25\,396\,279\,094\,031\,028\,611\,792^{3}\\&=39\,334\,962\,370\,186\,291\,117\,816^{3}+23\,546\,015\,462\,514\,532\,868\,036^{3}\\&=40\,406\,173\,326\,689\,071\,107\,206^{3}+19\,954\,364\,747\,606\,595\,397\,546^{3}\\&=41\,606\,042\,841\,774\,323\,117\,699^{3}+12\,368\,620\,118\,962\,768\,690\,237^{3}\\&=41\,912\,636\,072\,508\,031\,936\,196^{3}+6\,605\,593\,881\,249\,149\,024\,056^{3}\\&=41\,950\,587\,346\,428\,151\,112\,631^{3}+4\,448\,684\,321\,573\,910\,266\,121^{3}\\&=41\,960\,331\,491\,058\,948\,071\,104^{3}+3\,319\,755\,565\,063\,005\,505\,892^{3}\\&=41\,965\,847\,682\,542\,813\,143\,520^{3}+1\,952\,714\,722\,754\,103\,222\,628^{3}\\&=41\,965\,889\,731\,136\,229\,476\,526^{3}+1\,933\,097\,542\,618\,122\,241\,026^{3}\\&=41\,967\,142\,660\,804\,626\,363\,462^{3}+845\,205\,202\,844\,653\,597\,674^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
2
)
=
1
729
{\displaystyle \operatorname {Ta} (2)=1\,729}
ist vermöge obiger Anekdote auch als Hardy-Ramanujan-Zahl bekannt, sie wurde schon 1657 von Bernard Frénicle de Bessy publiziert.[ 4]
Ta
(
3
)
=
87
539
319
{\displaystyle \operatorname {Ta} (3)=87\,539\,319}
wurde 1957 von John Leech entdeckt.[ 5]
Ta
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (4)}
wurde 1991 von dem Amateur-Zahlentheoretiker E. Rosenstiel gefunden[ 6]
Ta
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (5)}
wird seit 1999 David W. Wilson verdankt.[ 7] Unabhängig davon fand wenige Monate später auch Daniel Bernstein diese Zahl.
Ta
(
6
)
{\displaystyle \operatorname {Ta} (6)}
wurde 2003 entdeckt.[ 8] Zuvor hatte 1998 Daniel Bernstein schon eine obere Schranke angegeben.
Als verallgemeinerte Taxicab-Zahlen bezeichnet man eine Abwandlung der gewöhnlichen Taxicab-Zahlen. Die Definition lautet:
Taxicab
(
k
,
j
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (k,j,n)}
ist die kleinste natürliche Zahl , die auf
n
{\displaystyle n}
verschiedene Arten als Summe von
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
-ten Potenzen ausgedrückt werden kann.
Für
k
=
3
{\displaystyle k=3}
und
j
=
2
{\displaystyle j=2}
handelt es sich um die „gewöhnlichen“ Taxicab-Zahlen.
Leonhard Euler zeigte, dass gilt:
Taxicab
(
4
,
2
,
2
)
=
635
318
657
=
59
4
+
158
4
=
133
4
+
134
4
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,2,2)=635\,318\,657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}
.
Stuart Gascoigne zeigte, dass
2
,
6
⋅
10
26
{\displaystyle 2{,}6\cdot 10^{26}}
eine untere Schranke für
Taxicab
(
4
,
2
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,2,3)}
ist, das Analogon zu Eulers obiger Lösung, diesmal aber für drei verschiedene Arten, eine positive Zahl als Summe zweier Biquadrate darzustellen (ein explizites Beispiel ist nicht bekannt).[ 9] Für
Taxicab
(
4
,
3
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (4,3,n)}
gibt es nach Hardy und Wright[ 10] Lösungen für beliebiges
n
{\displaystyle n}
und es sind Lösungen zum Beispiel bekannt für
n
=
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
10
,
12
,
16
,
18
,
19
,
24.
{\displaystyle n=3,4,5,6,7,8,10,12,16,18,19,24.}
[ 9] Schon bei der Summe von fünften Potenzen ist nicht bekannt, ob es Taxicab-Zahlen
Taxicab
(
5
,
2
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Taxicab} (5,2,n)}
für
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
gibt.[ 11]
Die Frage nach Taxicab-Zahlen ist ein Spezialfall der Frage nach Lösungen der Identitäten
∑
i
=
1
m
a
i
k
=
∑
j
=
1
n
b
j
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{k}}
.[ 12] [ 13] Ein anderer Spezialfall dieses Problemkreises ist die Eulersche Vermutung , eine Verallgemeinerung des Großen Fermatschen Satzes .
↑ Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford UP, 4. Auflage 1975, S. 333, Theorem 412, mit Anmerkungen S. 338 f. Die erste Auflage ist von 1938.
↑ Hardy: Ramanujan. London 1940. Wörtlich schrieb Hardy:
“I remember once going to see him when he was lying ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. ‘No’, he replied, ‘it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.’”
↑ Christian Boyer: New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers.
↑ Bruce Berndt , S. Bhargava: Ramanujan – For Lowbrows. In: American Mathematical Monthly. Band 100, 1993, S. 645–656.
↑ J. Leech: Some Solutions of Diophantine Equations. In: Proc. Cambridge Phil. Soc. 531957, S. 778–780.
↑ E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel: The Four Least Solutions in Distinct Positive Integers of the Diophantine Equation
s
=
x
3
+
y
3
=
z
3
+
w
3
=
u
3
+
v
3
=
m
3
+
n
3
.
{\displaystyle s=x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}=u^{3}+v^{3}=m^{3}+n^{3}.}
In: Bull. Inst. Math. Appl. 271991, S. 155–157.
↑ D. W. Wilson: The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496. In: J. Integer Sequences. 2, #99.1.9, 1999.
↑ C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen: What Is the Value of Taxicab(6)? (PDF; 120 kB). In: J. Uni. Comp. Sci. 9, 2003, S. 1196–1203.
↑ a b Taxicab numbers – 4th powers. In: Euler.free.fr.
↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 1979, S. 330.
↑ Walter Schneider: Taxicab numbers. (Memento vom 25. April 2005 im Internet Archive ). 2003, Mathews (the Archive of Recreational Mathematics).
↑ Lander, Parkin, Selfridge: A survey of equal sums of like powers. In: Mathematics of Computation. Band 21, 1967, S. 446–459.
↑ Randy Ekl: New results in equal sums of like powers. In: Mathematics of Computation. Band 67, 1998, S. 1209–1315, online.