Träger (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der Nichtnullstellenmenge einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von $f$ wird meist mit $\operatorname {Tr} (f)$ oder $\operatorname {supp} (f)$ bezeichnet.

Sei $A$ ein topologischer Raum und $f\colon A\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Der Träger von $f$ besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von $f$, formal:

$\operatorname {Tr} (f)=\operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in A\mid f(x)\neq 0\}}}$

Träger einer Distribution

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{d}$ und $T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )$ eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt $x_{0}\in \Omega$ zum Träger von $T$ gehört, und schreibt $x_{0}\in \mathrm {supp} (T)$, wenn für jede offene Umgebung $U\subset \Omega$ von $x_{0}$ eine Funktion $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ existiert mit $\;T(\phi )\neq 0$.

Falls $T$ eine reguläre Distribution $T=T_{f}$ mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele

Ist $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x$, dann ist $\operatorname {supp} (f)=\mathbb {R}$, denn die Nichtnullstellenmenge von $f$ ist $\mathbb {R} \setminus \left\{0\right\}$, deren Abschluss ganz $\mathbb {R}$ ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=1$, falls $\left|x\right|<1$, sonst $0$, dann ist $\operatorname {supp} (f)$ die Menge $\left\{x:\left|x\right|\leq 1\right\}$.

Ist $\chi _{\mathbb {Q} }$ die charakteristische Funktion von $\mathbb {Q} :\chi _{\mathbb {Q} }(x)=1$, falls $x\in \mathbb {Q}$, und $\chi _{\mathbb {Q} }(x)=0$, falls $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, dann ist der Träger $\mathbb {R}$, also der Abschluss von $\mathbb {Q}$.

Sei $U$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{d}$. Die Menge aller stetigen Funktionen von $U$ nach $\mathbb {R}$ mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit $C_{c}(U)$ bezeichnet wird.

Die Menge $C_{c}^{\infty }(U)$ aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in $U$ spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution $\delta (f):=f(0)$ hat den Träger $\left\{0\right\}$, denn mit $\omega :=\mathbb {R} ^{d}\setminus \left\{0\right\}$ gilt: Ist $f$ aus $C_{c}^{\infty }(\omega )$, dann ist $\delta (f)=0$.

Garbentheorie

Es sei $F$ eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum $X$.

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge $U\subseteq X$ und einen Schnitt $s\in \Gamma (U,F)$ heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte $x\in X$, für die das Bild von $s$ im Halm $F_{x}$ ungleich null ist, der Träger von $s$, meist mit $\mathrm {supp} \,s$ oder $|s|$ bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit $M$ definierten Vektorfeldes $F\colon M\to TM$ den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger eines Schnittes ist nach Definition stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von $F$ selbst ist die Menge der Punkte $x\in X$, für die der Halm $F_{x}$ ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur

• Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.