Vollkommen perfektes magisches Quadrat

Ein vollkommen perfektes magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat mit folgenden Zusatzeigenschaften:

1. die Ordnung der Quadrate ist ein Vielfaches von 4
2. jedes 2×2-Unterquadrat (einschließlich jener, die durch Umbruch an den Seiten erzeugt werden können) ergibt dieselbe Summe 2·(1 + n²)
3. für jeden Wert a liegt das Komplement 1 + n² – a dieses Wertes diagonal um n/2 versetzt

	੭ ੧੨ ੧ ੧੪ ੨ ੧੩ ੮ ੧੧ ੧੬ ੩ ੧० ੫ ੯ ੬ ੧੫ ੪ 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4 Transkription der obigen Indischen Ziffern
vollkommen perfektes magisches Quadrat vom Parshva Jaina Tempel in Khajuraho

Beispiele

384 vollkommen perfekte magische Quadrate in 1 bis 16 Darstellung und Farbkodierung: (16 & 1) – (9 & 8) – (5 & 12) – (3 & 14) – (2 & 15):

Diese 4×4-Quadrate (ein beliebiger 4×4-Ausschnitt) sind teilweise seit dem 11. bzw. 12. Jahrhundert in Indien bekannt. Durch Verschiebungen (auch in Einzelschritten, jeweils auch nur eine Zeile oder eine Spalte), durch Drehen, Spiegeln bzw. durch die freie Kombination dieser Umwandlungen lassen sich 384 = 4!·16 Quadrate erzeugen. Die Umwandlungen (Transformationen) von einem Quadrat in ein anderes bilden eine nichtkommutative geschlossene Gruppe in Bezug auf deren Verknüpfung.

02 11 05 16 02 11 05 16 02 11 13 08 10 03 13 08 10 03 13 08 12 01 15 06 12 01 15 06 12 01 07 14 04 09 07 14 04 09 07 14 02 11 05 16 02 11 05 16 02 11 13 08 10 03 13 08 10 03 13 08 12 01 15 06 12 01 15 06 12 01 07 14 04 09 07 14 04 09 07 14 02 11 05 16 02 11 05 16 02 11 13 08 10 03 13 08 10 03 13 08

Jaina-Quadrat 02 11 14 07 02 11 14 07 02 11 13 08 01 12 13 08 01 12 13 08 03 10 15 06 03 10 15 06 03 10 16 05 04 09 16 05 04 09 16 05 02 11 14 07 02 11 14 07 02 11 13 08 01 12 13 08 01 12 13 08 03 10 15 06 03 10 15 06 03 10 16 05 04 09 16 05 04 09 16 05 02 11 14 07 02 11 14 07 02 11 13 08 01 12 13 08 01 12 13 08

05 11 14 04 05 11 14 04 05 11 10 08 01 15 10 08 01 15 10 08 03 13 12 06 03 13 12 06 03 13 16 02 07 09 16 02 07 09 16 02 05 11 14 04 05 11 14 04 05 11 10 08 01 15 10 08 01 15 10 08 03 13 12 06 03 13 12 06 03 13 16 02 07 09 16 02 07 09 16 02 05 11 14 04 05 11 14 04 05 11 10 08 01 15 10 08 01 15 10 08

Eigenschaften

Veröffentlichte Arbeiten zu den Eigenschaften der vollkommen perfekten magischen Quadrate gibt es von Kathleen Ollerenshaw und David S. Brée sowie von T. V. Padmakumar, Indien.

Bei den 4×4-Quadraten gibt es eine eindeutige Zuordnung jedes Wertes zu seinen Nachbarn (oben, unten, rechts und links). Diese „Nachbarschaftsrelation“ lässt sich allgemein zu einem Algorithmus ausbauen, mit dem z. B. für Quadrate der Ordnung $2^{n}$ insgesamt $2^{n}!\cdot 2^{2n}$ für $n=2$ und $n=3$ bzw. $16\cdot 2^{n}!\cdot 2^{2n}$ für $n>3$ vollkommen perfekte magische Quadrate generiert werden können, ohne Exhaustionsmethoden anzuwenden.

Literatur

• Kathleen Ollerenshaw, David S. Brée: Most-perfect Pandiagonal Magic Squares: Their Construction and Enumeration. Institute of Mathematics and its Applications, Southend-on-Sea 1998, ISBN 0-905091-06-X.
• T. V. Padmakumar: Number Theory and Magic Squares. Sura books, Indien 2008, ISBN 978-81-8449-321-4, (surabooks.com (Memento vom 25. Februar 2012 im Internet Archive)).

Weblinks

• Harvey Heinz: Most-perfect Magic Squares
• T.V.Padmakumar: Arbeit über Quadrate des Typs „Sri Rama Chakra“
• T.V.Padmakumar: Strongly Magic Squares. (PDF; 1,8 MB)
• The 4×4 Pan-Magic Squares
• Michael Dörmann: A perfect magic square. (Online Generator – Magisches Quadrat 4×4 mit JavaScript)