Weil-Restriktion

Die Weil-Restriktion (auch Weils Restriktion der Skalare) bezeichnet in der algebraischen Geometrie ein $S$-Schema, welches aus einem $S'$-Schema und einem Morphismus von Schemata $S'\to S$ entstand.

Häufig interessiert man sich für den Fall, wenn $S'\to S$ eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist. Die Weil-Restriktion ist verwandt mit dem Konzept Restriktion der Skalare und nach André Weil benannt.

Weil-Restriktion

Grundbegriffe

Fixiere ein Schema $S$, ein Schema $X$ ausgestattet mit einem Morphismus $f:X\to S$ nennt man ein $S$-Schema. Alle Schemata über einem fixierten Schema $S$ bilden die Kategorie $\mathbf {Sch/S}$.

Sei ${\mathcal {C}}$ eine Kategorie, dann bezeichnet ${\mathcal {C}}^{op}$ ihre duale Kategorie.

Definition

Sei $h:S'\to S$ ein Morphismus von Schemata. Für ein $S'$-Schema $X$ betrachte den kontravarianten Funktor

$\operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X).$

Falls der Funktor darstellbar ist, dann heißt das dazugehörige $S$-Schema, welches auch mit $\operatorname {Res} _{S'/S}(X)$ notiert wird, die Weil-Restriktion von $X$ bezüglich $h$.