Ähnlichkeitssätze

Bedingungen für die Ähnlichkeit von Dreiecken

Die Ähnlichkeitssätze sind Sätze, die hinreichende Bedingungen stellen, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind. Viele Aussagen der Geometrie lassen sich mit Hilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

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Die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke lauten:

  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. (W:W:W-Satz)
  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. (S:S:S-Satz)
  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S-Satz)
  • Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und in dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. (S:S:W-Satz)

Siehe auch: Kongruenzsätze

In den folgenden vier Abbildungen sind jeweils zwei ähnliche Dreiecke ABC und A’B’C’ – anschaulich gesprochen – „ineinander geschachtelt“.

Dann ist jedes Seitenlängenpaar in ABC quotientengleich zu dem entsprechenden Seitenlängenpaar in A’B’C’.

Beispiele

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Ähnliche Dreiecke (grün) im Pythagorasbaum

Beziehungen zwischen ähnlichen Dreiecken

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Planfigur

Gegeben seien ein Punkt   innerhalb eines Dreiecks   mit  ,   und   sowie die Parallelen durch   zu den Dreiecksseiten. Diese Parallelen teilen jede Dreiecksseite in drei Abschnitte auf (siehe Planfigur).

Sind  ,   und   die Längen der jeweils mittleren Streckenabschnitte, so gilt:

 .

Der Beweis resultiert aus der Ähnlichkeit der drei grauen Dreiecke zum Dreieck  . Hieraus ergibt sich zunächst

  und  

und danach durch Umformung

  und  

Daraus folgt schließlich

 .[1]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seite 56