Achilles-Zahl

potente Zahl, die keine Potenz ist

Eine Achilles-Zahl ist eine potente Zahl, die keine perfekte Potenz ist. Bei potenten Zahlen ist mit jedem Primteiler von auch ein Teiler von . Somit muss auch jeder Primfaktor der Achilles-Zahl mindestens zur zweiten Potenz in seiner Faktorisierung vorkommen.

72 ist eine Achilles-Zahl, dargestellt mit Cuisenaire-Stäbchen

Eine starke Achilles-Zahl ist eine Achilles-Zahl, deren Totient ebenfalls eine Achilles-Zahl ist.[1]

Der Namensgeber Henry Bottomley benannte die Zahlen nach Achilleus, der „powerful but imperfect“ (also mächtig, aber unvollkommen) gewesen sei.

Beispiele

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  • Die Zahl   ist keine Achilles-Zahl, weil man diese Zahl auch als perfekte Potenz der Form   darstellen kann:  .
  • Die kleinste Achilles-Zahl lautet:
 
Die Zahl 72 ist aber keine perfekte Potenz, weil sie nicht darstellbar ist in der Form  .
  • Die kleinsten Achilles-Zahlen lauten:
72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000, … (Folge A052486 in OEIS)
  • Das kleinste Paar direkt aufeinanderfolgender Achilles-Zahlen lautet:[2]
 
 
  • Die kleinsten  , für welche sowohl   als auch   Achilles-Zahlen sind, lauten:
5425069447, 11968683934831, 28821995554247, 48689748233307, … (Folge A272714 in OEIS)
  • Das kleinste Paar ungerader aufeinanderfolgender Achilles-Zahlen lautet:
 
 
  • Die kleinste starke Achilles-Zahl ist  . Es gibt zu dieser Zahl   genau 200 teilerfremde natürliche Zahlen, die nicht größer als   sind. Somit gilt für den Totient (also für die Eulersche Phi-Funktion) von 500:
 
Weil   keine perfekte Potenz ist, aber jeder Primfaktor mindestens zur zweiten Potenz in der Faktorisierung vorkommt, ist sie ebenfalls eine Achilles-Zahl. Somit ist   sogar eine starke Achilles-Zahl.
  • Die kleinsten starken Achilles-Zahlen lauten:
500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773, 30375, 31104, 32000, 33275, 37044, 40500, 49392, 50000, 52488, 55296, 61731, 64827, 67500, 69984, 78608, 80000, 81000, 83349, 84375, 93312, 108000, … (Folge A194085 in OEIS)

Eigenschaften

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  • Nicht jede potente Zahl ist eine Achilles-Zahl.
Beweis:
  mit  ,   ist eine potente Zahl, aber keine Achilles-Zahl, weil Achilles-Zahlen keine perfekte Potenz sein dürfen.  
  • Sei eine Zahl   eine potente Zahl (es muss also   gelten). Dann ist   eine Achilles-Zahl, wenn gilt:
 
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Einzelnachweise

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  1. Strong Achilles Numbers – Problem 302. ProjectEuler.net, abgerufen am 28. März 2022.
  2. Problem 53. Powerful numbers revisited. Primepuzzles.net, abgerufen am 28. März 2022.