Alexandrov-Räume sind metrische Räume, die in der Differentialgeometrie und in der Topologie von wesentlicher Bedeutung sind. Ein Alexandrov-Raum ist ein vollständiger Längenraum mit unterer Krümmungschranke und endlicher Hausdorff-Dimension. Sie sind nach Alexander Danilowitsch Alexandrow benannt.

Definition

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Ein metrischer Raum   heißt Längenraum, falls der Abstand je zweier Punkte in   gegeben ist durch das Infimum der Längen aller (stetigen) Kurven, die diese Punkte miteinander verbinden. Eine kürzeste Geodätische   zwischen zwei Punkten   ist eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve von   nach  , deren Länge mit dem Abstand   dieser Punkte übereinstimmt.

Ein Dreieck   in einem Längenraum   wird bestimmt durch drei Punkte   und drei kürzeste Geodätische  . Bezeichnet für eine gegebene reelle Zahl   das Symbol   die zweidimensionale Fläche konstanter Krümmung  , so versteht man unter einem   Vergleichsdreieck für ein Dreieck   ein Dreieck   in  , dessen Seitenlängen mit den jeweiligen Seitenlängen des Dreiecks   übereinstimmen. Vergleichsdreiecke existieren und sind für   oder für   und

 

bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.

Ein Längenraum   heißt Raum mit unterer Krümmungsschranke  , oder kurz Raum mit  , falls jeder Punkt   eine Umgebung   besitzt, so dass für je vier Punkte   die Vergleichswinkel von   in den entsprechenden Vergleichsdreiecken in   die folgende Ungleichung erfüllen:

 

Ist der Längenraum   eine eindimensionale Mannigfaltigkeit und  , so verlangt man aus Konsistenzgründen zusätzlich, dass in diesem Fall der Durchmesser den Wert   nicht überschreitet. Es gilt dann in Verallgemeinerung der Sätze von Toponogov und Bonnet-Myers:

Der Durchmesser eines vollständigen Raumes mit   beträgt höchstens  .

Kehrt man in der obigen Ungleichung das Ungleichheitszeichen um, erhält man die Definition eines Raumes mit oberer Krümmungsschranke  . Ist   ein Raum mit   und vollständig, so gilt die obige Ungleichung global, also für beliebige (verschiedene) Punkte  .

Für lokalkompakte Räume stimmt die oben gegebene Definition von   mit der üblichen Abstandsvergleichsdefinition überein, nach der ein lokalkompakter Längenraum   ein Raum mit unterer Krümmungsschranke   ist, falls jeder Punkt   eine Umgebung   besitzt, so dass für jedes Dreieck   in   und je zwei Punkte   die Abstandsgleichung

 

erfüllt ist, wobei   und   den Punkten   und   entsprechende Punkte im zum Dreieck   korrespondierenden  -Vergleichsdreieck bezeichnen.

Erste Beispiele von Räumen mit   sind gegeben durch Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung   sowie Quotienten von Räumen mit   im allgemeinen metrische und/oder topologische Singularitäten auf (?).

Oftmals bezeichnet man Räume mit einer unteren Krümmungsschranke   synonym auch als Alexandrov-Räume.

(Definition zitiert aus [1], s. auch Weblink)

Besonderes

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Jeder Punkt eines Alexandrov-Raumes besitzt eine offene Umgebung, welche zum Tangentialkegel dieses Punktes homöomorph ist. Ferner gilt: Ein Alexandrov-Raum besitzt eine Stratifikation in topologische Mannigfaltigkeiten. Die Strata der Dimension   bestehen aus den Punkten, deren Tangentialkegel homöomorph ist zum Produkt eines Kegels mit einem euklidischen Raum   einer Dimension  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Wilderich Tuschmann: Endlichkeitssätze und positive Krümmung Habilitationsschrift Max-Planck-Institut für Mathematik, Leipzig 2000, S. 18–19.