Arkustangensintegral

Das Arkustangensintegral ist eine nicht elementare Funktion in der Mathematik. Diese Funktion ist die durch den Ursprung verlaufende Stammfunktion des Produkts von der Arkustangensfunktion und der Kehrwertfunktion.

Definition

Graph vom Arkustangensintegral Ti₂(x)

Das Arkustangensintegral ist folgendermaßen definiert:

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\arctan(xy)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{x}{\frac {1}{t}}\arctan(t)\,\mathrm {d} t$

Alternativ kann das Arkustangensintegral mit der Lerchschen Transzendente definiert werden:

$\operatorname {Ti} _{2}(x)={\tfrac {1}{4}}x\,\Phi (-x^{2},2,{\tfrac {1}{2}})$

Somit ist das Arkustangensintegral das imaginäre Gegenstück zur Legendreschen Chi-2-Funktion:

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=-i\chi _{2}(ix)$

Folglich zählt das Arkustangensintegral zu den Polylogarithmen.

Spezielle Werte

Der Funktionswert Ti₂(1) ist die Catalansche Konstante, die unendliche alternierende Differenz der Kehrwerte von den ungeraden Quadratzahlen:

$\operatorname {Ti} _{2}(1)=G$

Die Funktionswerte Ti₂(2-√3) und Ti₂(2+√3) sind ebenso mit der Catalanschen Konstante und den elementaren Funktionen darstellbar:

$\operatorname {Ti} _{2}(2-{\sqrt {3}})={\tfrac {2}{3}}G-{\tfrac {1}{12}}\pi \operatorname {arcosh} (2)$

$\operatorname {Ti} _{2}(2+{\sqrt {3}})={\tfrac {2}{3}}G+{\tfrac {5}{12}}\pi \operatorname {arcosh} (2)$

Außerdem ergeben folgende Summen elementare Werte:

$6\operatorname {Ti} _{2}(1)-4\operatorname {Ti} _{2}({\tfrac {1}{2}})-2\operatorname {Ti} _{2}({\tfrac {1}{3}})-\operatorname {Ti} _{2}({\tfrac {3}{4}})=\pi \ln(2)$

$6\operatorname {Ti} _{2}[\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )]-4\operatorname {Ti} _{2}[\tan({\tfrac {1}{8}}\pi )]-6\operatorname {Ti} _{2}[\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )]=\pi \ln[\tan({\tfrac {5}{24}}\pi )\tan({\tfrac {3}{8}}\pi )]$

Funktionalgleichungen

Folgende Funktionalgleichungen des Arkustangensintegrals sind für alle reellen x-Werte gültig:

$\operatorname {Ti} _{2}({\sqrt {x^{2}+1}}+x)-\operatorname {Ti} _{2}({\sqrt {x^{2}+1}}-x)={\tfrac {1}{2}}\pi \operatorname {arsinh} (x)$

$\operatorname {Ti} _{2}(x)-3\operatorname {Ti} _{2}\{\tan[{\tfrac {1}{3}}\arctan(x)]\}+3\operatorname {Ti} _{2}\{\tan[{\tfrac {1}{6}}\pi +{\tfrac {1}{3}}\arctan(x)]\}-3\operatorname {Ti} _{2}\{\tan[{\tfrac {1}{6}}\pi -{\tfrac {1}{3}}\arctan(x)]\}=$

$={\tfrac {1}{2}}\pi \ln\{\tan[{\tfrac {1}{6}}\pi +{\tfrac {1}{3}}\arctan(x)]\tan[{\tfrac {1}{3}}\pi +{\tfrac {1}{3}}\arctan(x)]\}$

Ableitungen

Folgende Funktionen haben folgende Ableitungen:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {\arctan(x)}{x}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}2\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}\right)={\frac {\arctan(x)}{x{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ti} _{2}({\sqrt {x^{2}+1}}+x)+\operatorname {Ti} _{2}({\sqrt {x^{2}+1}}-x)={\frac {\arctan(x)}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}2\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)={\frac {\arcsin(x)}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)={\frac {\arcsin(x)}{x(1-x^{2})}}$

Arkussinusintegral

Analog zum Arkustangensintegral ist das Arkussinusintegral wie folgt definiert:

$\operatorname {Si} _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y}}\arcsin(xy)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{x}{\frac {1}{t}}\arcsin(t)\,\mathrm {d} t$

Diese Funktion darf bezüglich ihrer Bezeichnung nicht mit dem Integralsinus verwechselt werden.

Aus dieser Definition resultiert jene Maclaurinsche Reihenentwicklung:

$\operatorname {Si} _{2}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)^{2}}}$

Folgende Funktionswerte hat diese Funktion:

$\operatorname {Si} _{2}(0)=0$

$\operatorname {Si} _{2}(1)={\tfrac {1}{2}}\pi \ln(2)$

$\operatorname {Si} _{2}(-1)=-{\tfrac {1}{2}}\pi \ln(2)$

$\operatorname {Si} _{2}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}G+{\tfrac {1}{8}}\pi \ln(2)$

$\operatorname {Si} _{2}(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=-{\tfrac {1}{2}}G-{\tfrac {1}{8}}\pi \ln(2)$

Der Wert Si₂(1) kann auf folgende Weise bewiesen werden:

$\operatorname {Si} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\arcsin(x)\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}})}}\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}\ln(2)$

Das Analogon für den Lemniskatischen Arkussinus ergibt folgenden Wert:

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\operatorname {arcsl} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{8}}\pi \varpi$

Dabei stellt ϖ die Lemniskatische Konstante dar.

Zwischen Arkustangensintegral und Arkussinusintegral besteht folgender Zusammenhang:

$2\,\mathrm {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}{\biggr )}=4\,\mathrm {Si} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{x^{2}+1}}{\sqrt {{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}}{\biggr )}-\mathrm {Si} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )}$

$2\,\mathrm {Ti} _{2}{\biggl (}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}=4\,\mathrm {Si} _{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+x}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}{\bigr )}-\mathrm {Si} _{2}(x)$

Die Richtigkeit dieser Formeln kann durch Ableiten gezeigt werden.

Literatur

• Nielsen, N. "Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen." Nova Acta Leopoldina, Abh.der Kaiserlich Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akad. der Naturforsch. 90, 121–212, 1909.
• Finch, S. R. "Inverse Tangent Integral." §1.7.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 57, 2003.
• Lewin, L. "The Inverse Tangent Integral" and "The Generalized Inverse Tangent Integral." Chs. 2–3 in Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, pp. 33–90, 1958.
• Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. Amsterdam, Netherlands: North-Holland, p. 45, 1981.