In der Mathematik ist der Begriff der Asphärizität in Geometrie und Topologie von Bedeutung. Ein topologischer Raum wird als asphärischer Raum bezeichnet, wenn er wegzusammenhängend ist und alle seine höheren Homotopiegruppen verschwinden, das heißt für .

Asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie häufig vor und spielen auch in der Homotopietheorie eine große Rolle. Interessante geometrische Konstruktionen führen auf asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten, z. B. nicht-positiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten, geschlossene Flächen mit Ausnahme von und , irreduzible, geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten mit unendlicher Fundamentalgruppe, oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs. Andererseits gibt es auch exotische asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten, die nicht aus Standardkonstruktionen stammen und unerwartete Eigenschaften haben, z. B. deren universelle Überlagerung nicht homöomorph zum ist und die nicht triangulierbar sind. Die wichtigsten Konstruktionsmethoden sind hier der Spiegelungstrick und Hyperbolisierung.

Der Homotopietyp eines asphärischen CW-Komplexes hängt nur von der Fundamentalgruppe ab. Die Borel-Vermutung sagt voraus, dass asphärisch geschlossene topologische Mannigfaltigkeiten topologisch starr sind, also durch ihre Fundamentalgruppe bereits bis auf Homöomorphismus festgelegt.

Homotopie-Klassifikation topologischer Räume

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Aus Sicht der Homotopietheorie wird ein asphärischer CW-Komplex vollständig durch seine Fundamentalgruppe bestimmt. Zwei asphärische CW-Komplexe sind genau dann homotopieäquivalent, wenn ihre Fundamentalgruppen isomorph sind (Satz von Whitehead).

Die Asphärizität von CW-Komplexen lässt sich wie folgt charakterisieren: ein CW-Komplex   ist genau dann asphärisch, wenn er zusammenhängend ist und seine universelle Überlagerung   zusammenziehbar ist.

Ein asphärischer CW-Komplex mit Fundamentalgruppe   ist ein Eilenberg-MacLane-Raum   und der klassifizierende Raum   für Bündel mit (diskreter) Strukturgruppe  .

Beispiele für asphärische Mannigfaltigkeiten

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Nicht-positive Krümmung

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Sei   eine geschlossene differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wenn   eine riemannsche Metrik besitzt, deren Schnittkrümmung nicht-positiv ist, d. h. überall   ist, dann erbt die universelle Überlagerung   eine vollständige riemannsche Metrik, deren Schnittkrümmung nicht-positiv ist. Da   einfach zusammenhängend ist, folgt dann aus dem Satz von Cartan-Hadamard, dass   zu   diffeomorph und daher zusammenziehbar ist. Deshalb ist   und damit auch   asphärisch.

Niedrige Dimensionen

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Eine zusammenhängende, geschlossene 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu   und daher asphärisch.

Sei   eine zusammenhängende, geschlossene 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist   entweder asphärisch oder homöomorph zu   oder  . Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  1.   ist asphärisch.
  2.   lässt eine riemannsche Metrik zu, die flach ist, d. h. mit Schnittkrümmung konstant 0, oder hyperbolisch, d. h. mit Schnittkrümmung konstant −1.
  3. Die universelle Überlagerung von   ist homöomorph zu  .

Eine zusammenhängende, geschlossene 3-Mannigfaltigkeit   heißt prim, wenn für jede Zerlegung als zusammenhängende Summe   einer der Summanden   oder   homöomorph zu   ist. Sie heißt irreduzibel, wenn jede eingebettete Sphäre   eine Vollkugel   berandet. Jede irreduzible, geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist prim und eine prime geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist entweder irreduzibel oder ein  -Bündel über  . Eine geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist genau dann asphärisch, wenn sie irreduzibel ist und unendliche Fundamentalgruppe hat. Dies folgt aus dem Sphärensatz. Thurstons Geometrisierungsvermutung impliziert, dass eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit genau dann asphärisch ist, wenn ihre universelle Überlagerung homöomorph zu   ist. Es gibt Beispiele für geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeiten, die asphärisch sind, aber keine riemannsche Metrik mit nicht-positiver Schnittkrümmung besitzen.

Torsionsfreie diskrete Untergruppen von fast-zusammenhängenden Lie-Gruppen

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Sei   eine Lie-Gruppe mit endlich vielen Wegzusammenhangskomponenten. Sei   eine maximal kompakte Untergruppe. Sei   eine diskrete, torsionsfreie Untergruppe. Dann ist   eine asphärische geschlossene Mannigfaltigkeit mit Fundamentalgruppe  , da ihre universelle Überlagerung   für geeignetes   zu   diffeomorph ist.

Produkte und Faserungen

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Offensichtlich ist das Produkt   zweier asphärischer Räume wieder asphärisch. Wenn allgemeiner   eine Faserung mit asphärischen Räumen   und   ist, zeigt die lange exakte Homotopiesequenz, dass   asphärisch ist.

Pushouts

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Sei   ein CW-Komplex mit Unter-CW-Komplexen   und  , so dass   und  . Angenommen,   und   sind asphärisch und für   und jeden Basispunkt   induziert die Inklusion eine injektive Abbildung  . Dann ist   asphärisch. Dies folgt aus dem Satz von Hurewicz und einer Anwendung des Mayer-Vietoris-Arguments.

Hyperbolisierung

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Eine sehr wichtige Konstruktionsmethode von asphärischen, geschlossenen Mannigfaltigkeiten ist Gromovs Hyperbolisierung von Zellkomplexen. Sie verwandelt einen Zellkomplex in ein nicht positiv-gekrümmtes (und damit asphärisches) Polyeder. Da die Konstruktion lokale Strukturen bewahrt, werden Mannigfaltigkeiten zu Mannigfaltigkeiten.

Man beginnt mit einem endlichdimensionalen Simplizialkomplex   und weist ihm einen kubischen Zellkomplex   und eine natürliche Abbildung   mit den folgenden Eigenschaften zu:

  •   ist nicht-positiv gekrümmt und insbesondere asphärisch;
  • Die natürliche Abbildung   induziert eine surjektive Abbildung in ganzzahliger Homologie;
  •   ist surjektiv;
  • Wenn   eine orientierbare Mannigfaltigkeit ist, dann gilt:
  1.   ist eine Mannigfaltigkeit;
  2. Die natürliche Abbildung   hat Abbildungsgrad Eins;
  3. Es gibt einen stabilen Isomorphismus zwischen dem Tangentialbündel   und dem Pullback  .

Exotische asphärische geschlossene Mannigfaltigkeiten

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Davis-Januszkiewicz bewiesen, dass es eine asphärisch geschlossene 4-Mannigfaltigkeit   mit den folgenden Eigenschaften gibt:

  1.   ist zu keiner PL-Mannigfaltigkeit homotopie-äquivalent;
  2.   ist nicht triangulierbar, d. h. nicht homöomorph zu einem Simplizialkomplex;
  3. Die universelle Überlagerung   ist nicht homöomorph zu  ;
  4.   ist homotopie-äquivalent zu einem stückweise flachen, nicht-positiv gekrümmten Polyeder.

Weiter bewiesen Davis-Januszkiewicz, dass es für jedes   eine asphärische, geschlossene  -Mannigfaltigkeit gibt, die zu keiner PL-Mannigfaltigkeit homotopie-äquivalent ist, dass es für jedes   eine asphärische, geschlossene  -dimensionale Mannigfaltigkeit gibt, deren universelle Überlagerung nicht zum   homöomorph ist, und dass es für jedes   eine asphärische, geschlossene, glatte  -dimensionale Mannigfaltigkeit   gibt, die zu einem negativ gekrümmten Polyeder homöomorph ist und insbesondere eine hyperbolische Fundamentalgruppe hat, und deren universelle Überlagerung homöomorph zum   ist, die aber nicht homöomorph zu einer glatten Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik negativer Schnittkrümmung ist.

Nach Ergebnissen von Belegradek, Mess und Weinberger hat man:

  1. Für jedes   gibt es eine asphärische, geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension  , deren Fundamentalgruppe eine unendlich teilbare abelsche Gruppe enthält;
  2. Für jedes   gibt es eine asphärische, geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension  , deren Fundamentalgruppe ein unlösbares Wortproblem hat und deren simpliziales Volumen ungleich Null ist.

Man beachte, dass eine endlich präsentierte Gruppe mit unlösbarem Wortproblem keine CAT(0)-Gruppe ist, nicht hyperbolisch, nicht automatisch, nicht asynchron automatisch, nicht residuell endlich und nicht linear über einen kommutativen Ring. Der Beweis der Konstruktion beruht auf dem Spiegelungstrick, der wie folgt zusammengefasst werden kann.

Sei   eine Gruppe, die ein endliches Modell für den klassifizierenden Raum   besitzt. Dann gibt es eine asphärische, geschlosseneMannigfaltigkeit   und zwei Abbildungen   und  , so dass  .

Eine weitere unmittelbare Anwendung des Spiegelungstricks ist, dass viele bekannte Vermutungen über Gruppen mit endlichen Modell für   genau dann gelten, wenn sie für die Fundamentalgruppe jeder asphärischen, geschlossenen Mannigfaltigkeit gelten. Dies gilt zum Beispiel für die Kaplansky-Vermutung, Einheitsvermutung, Null-Divisor-Vermutung, Baum-Connes-Vermutung, Farrell-Jones-Vermutung für algebraische K-Theorie für reguläre Ringe, Farrell-Jones-Vermutung für algebraische L-Theorie, das Verschwinden von   und der Whitehead-Gruppe  .

Poincaré-Dualitätsgruppen

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Eine Gruppe   wird als Poincaré-Dualitätsgruppe der Dimension   bezeichnet, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Die Gruppe   ist vom Typ FP, d. h. das triviale  -Modul   besitzt eine endlich-dimensionale projektive  -Auflösung durch endliche erzeugte projektive  -Moduln;
  2. Es gibt einen Isomorphismus abelscher Gruppen  

Man vermutet, dass eine endlich präsentierte Gruppe genau dann eine  -dimensionale Poincaré-Dualitätsgruppe ist, wenn es sich um die Fundamentalgruppe einer asphärischen, geschlossenen  -dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit handelt. Bewiesen ist das nur in Spezialfällen.

Literatur

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  • Wolfgang Lück, Survey on aspherical manifolds, European Congress of Mathematics, Eur. Math. Soc., Zürich (2010), 53–82.
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