Benutzer:BreKla/Spielwiese

Ergänzende Bemerkungen

Dualzahlen und Collatzfolgen

• Definition: Der Schritt x' = 3*x+1 soll M-Schritt („Multiplikation“) heißen.
• Definition: Der Schritt x' = x/2 soll D-Schritt („Division“) heißen.

Stellt man eine ungerade Zahl z als Dualzahl (z.B. z = 21 = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1 = I0I0I ) dar, so kann man an der Anzahl der endständigen „0I“-Gruppen erkennen, wie oft man mindestens nach dem nächsten M-Schritt durch „4“ teilen kann. In diesem Fall kann man also zweimal, d.h. mindestens durch „16“, teilen.

Dreiersystem und Collatzfolgen

Stellt man eine ungerade Zahl z im Dreiersystem (z.B. z = 21 = 2*9 + 1*3 + 0*1 = 210D ) dar, so bedeutet eine Multipliktion mit „3“ das Anhängen einer „0“. Eine Zahl ist dann durch „2“ teilbar, wenn die Quersumme (dezimal berechnet) in der Dreiersystem-Darstellung gerade ist.

Janus-Zahlen und Collatz-Folgen

(Janus: Römischer Gott mit zwei Gesichtern / Eigene Namensgebung)

Man kann Zahlen nicht nur in Stellenwertsystemen darstellen, sondern auch in anderen Schreibweisen (z.B. röm. Zahlen).

     Definition: Eine Janus-Zahl ist ein Produkt aus einer Zweier- und einer Dreier-Potenz,    
                       j= $2^{z}*3^{d}$ mit z>=0 und d>=0.

Für das Collatz-Problem und die Darstellung der Zahlen in einer Folge bietet sich auch folgende Darstellung mit einer Summe von Janus-Zahlen an:

                       z = 21 = 2*9 + 1*3 = 16*1 + 4*1 + 1.

Wie man sieht, ist die Darstellung nicht eindeutig. Ein M-Schritt erhöht in jedem Summanden den Exponenten der Dreierpotenz um 1 und fügt der Summe eine „1“ als neuen Summanden hinzu.

                   M-Schritt:  z' = 3*z + 1 = 2*27 + 1*9 + 1.

Ein D-Schritt verringert in jedem Summanden den Exponenten der Zweierpotenz um 1. Entsteht in einem Summanden eine reine Dreierpotenz, so verhält sich die Folge anscheinend chaotisch. Durch schrittweise Auflösung der reinen Dreierpotenzen und eine Verringerung der Zahl der Summanden lässt sich dann etwas mehr Licht in das Chaos bringen.