Benutzer:SuPich/Mittlere absolute Abweichung

Die mittlere absolute Abweichung (englisch mean absolute deviation, kurz MAD oder MD) ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik und gibt ähnlich wie die empirische Varianz an, wie sehr die Stichprobe um ihren Mittelpunkt streut. Als Mittelpunkt wird je nach Definition das arithmetisches Mittel oder der Median verwendet. Im Gegensatz zur empirischen Varianz wird jedoch bei der mittleren absoluten Abweichung der Abstand zum Mittelpunkt nicht quadratisch gewichtet, sondern nur dem Betrage nach. Große Abweichungen vom arithmetischen Mittel fallen daher nicht so stark ins Gewicht.

Definitionen

Gegeben sei eine Stichprobe $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ mit $n$ Elementen. Es sei ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ dessen arithmetisches Mittel und ${\tilde {x}}$ dessen Median.

• Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel ist definiert als:

$d_{\overline {x}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|$, also als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen vom arithmetischen Mittel der Stichprobe.

• Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist entweder definiert als:

${\tilde {d}}_{0{,}5}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\tilde {x}}|$, also als arithmetisches Mittel der absoluten Abweichungen vom Median der Stichprobe; Oder als:

${\tilde {d}}_{0{,}5}={\text{median}}(|x_{i}-{\tilde {x}}|)$, also als Median der absoluten Abweichungen vom Median der Stichprobe.

Für alle diese Definitionen wird auch die Notation ${\text{MAD}}_{X}$ oder ${\text{MD}}_{X}$ verwendet; weiter existiert für die mittlere absolute Abweichung vom Median auch die Notation ${\text{MedAD}}_{X}$.

Beispiele

Gegeben sei die Stichprobe

$x=(10;9;13;15;16)$,

es ist also $n=5$.

Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel

Für das arithmetische Mittel ergibt sich

${\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+13+15+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6$.

Damit ist die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel:

${\begin{aligned}d_{\overline {x}}&={\frac {1}{5}}\left(|10-12{,}6|+|9-12{,}6|+|13-12{,}6|+|15-12{,}6|+|16-12{,}6|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(2{,}6+3{,}6+0{,}4+2{,}4+3{,}4\right)\\&=2{,}48\end{aligned}}$

Mittlere absolute Abweichung vom Median

Als sortierte Stichprobe erhält man

$x_{\text{sort}}=(9,10,13,15,16)$,

somit ist der Median

${\tilde {x}}=13$.

Für die mittlere absolute Abweichung vom Median, nach der ersten Definition, ergibt sich:

${\begin{aligned}{\tilde {d}}_{0{,}5}&={\frac {1}{5}}\left(|10-13|+|9-13|+|13-13|+|15-13|+|16-13|\right)\\&={\frac {1}{5}}(3+4+2+3)\\&={\frac {12}{5}}=2{,}4\end{aligned}}$

Für die mittlere absolute Abweichung vom Median nach der zweiten Definition benötigt man die sortierte Liste der absoluten Abweichungen:

$(\left\vert x-{\tilde {x}}\right\vert )=(4,3,0,2,3)=(0,2,3,3,4)$

Somit ist nach dieser Definition

${\tilde {d}}_{0{,}5}={\text{median}}(|x_{i}-{\tilde {x}}|)=3$.

Insbesondere liefern alle drei Definitionen im Allgemeinen nicht dieselben Werte.

Eigenschaften

Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert $m$, also

$A(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m|$,

so ist $A(m)$ minimal, wenn $m$ der Median ist. Ein analoges Resultat gilt auch für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert $m$: sie wird genau dann minimal, wenn $m$ das arithmetische Mittel ist. In diesem Sinne ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streumaß um den Median, ebenso wie die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streumaß um das arithmetische Mittel ist.

Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist ein robustes Streuungsmaß, es ist also deutlich unempfindlicher gegenüber Ausreißern als etwa die Standardabweichung. Dies liegt an der Verwendung des robusten Medians. Besonders relevant ist dies, wenn eine Regel für das Entfernen von Ausreißern aus einem Datensatz gefunden werden soll: Das übliche Verfahren, alle Werte, die mehr als drei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt sind, zu streichen, ist insofern problematisch, als dass Standardabweichung und Mittel selbst durch Ausreißer verzerrt sein könnten. Ein deutlich unempfindlicheres Verfahren wäre, alle Werte zu streichen, die mehr als das k-fache des MedAD vom Median abweichen, wobei k ein von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängiger Faktor ist.

Siehe auch

• Mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel (Empirische Varianz)