Bessel-Verfahren

Verfahren zur Messung der Brennweite einer Sammellinse

Als Bessel-Verfahren oder Bessel-Methode wird eine Messmethode zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse bezeichnet. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, der sie im Jahre 1840 publizierte.[1]

Grundlagen

Bearbeiten
 
Aufbau und Bezeichnungen

Wenn ein Gegenstand G mittels einer optischen Linse auf einem Schirm als Bild B abgebildet wird, dann erhält man in zwei Positionierungen der Linse ein scharfes Bild: In der Position   ist das Bild vergrößert, in der Position   ist es verkleinert. Dabei muss der Abstand   des Gegenstandes zum Schirm größer sein als das Vierfache der Brennweite   zuzüglich der Distanz   der beiden Hauptebenen der Linse:

 

Praktisch wird die Linse mehrfach zwischen diesen beiden Positionen hin und her verschoben, und die jeweiligen Abstände   und   von einem Rand der Anordnung werden gemessen. Aus deren Differenz erhält man den Abstand   der beiden Linsenpositionen, aus dem die Brennweite mit den Gleichungen

   für dünne Linsen,
   für dicke Linsen

berechnet werden kann.

Gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der Hauptebenen H und H′ nicht bekannt sein muss. Allerdings wird das Ergebnis für dicke Linsen um die Hälfte bis ein Viertel von   zu groß, abhängig von  .

Gegenüber dem aufwändigeren Abbe-Verfahren, mit dem zusätzlich die Lage der Hauptebenen ermittelt werden, hat das Bessel-Verfahren den Vorteil, dass mit einem festen Aufbau (Lichtquelle, Gegenstand und Bildschirm in festem Abstand) viele Linsen schnell vermessen werden können.

Herleitung

Bearbeiten

Dünne Linsen

Bearbeiten
 
Bezeichnungen an der dünnen Linse

1. Herleitung:
Bei dünnen Linsen kann der Abstand zwischen den beiden Hauptebenen vernachlässigt werden. Es gilt:

 ,

wobei   die Bildweite und   die Gegenstandsweite ist. Wegen der Symmetrie der Anordnung muss ferner gelten:

 

(das Objekt soll ja gerade scharf abgebildet werden, deswegen kann der Abstand   der beiden Punkte, in denen es scharf abgebildet wird, nur durch diese Gleichung beschrieben werden).
Unter Benutzung der Linsengleichung

 

und Einsetzen von   sowie

 

erhält man

 .

Die Umformung ergibt

 .

2. Herleitung:
Unter Benutzung der Linsengleichung

 

und Einsetzen von   (der Abstand der Hauptebenen einer dünnen Linse ist null) erhält man eine Gleichung für  :

 .

Wird diese quadratische Gleichung nach   aufgelöst, erhält man

 .

wobei   als die Differenz der beiden Gegenstandsweiten   definiert ist. Die Umformung ergibt

  .

Dicke Linsen

Bearbeiten

Der Abstand der Hauptebenen   ist nicht vernachlässigbar. Es gilt

  und
  .

Man erhält mit obigen Überlegungen die Formel

  .

Literatur

Bearbeiten

Anmerkungen

Bearbeiten
  1. F. W. Bessel: Ueber ein Mittel zur Bestimmung der Brennweite des Objectivglases eines Fernrohres. In: Astronomische Nachrichten, Band XVII (1840), No. 403, S. 289–294 (Digitalisat)