Brahmasphutasiddhanta (Brāhmasphuṭasiddhānta: Sanskrit, ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तः = „Vervollkommnung der Lehre Brahmas“) ist das bekannteste Werk des indischen Mathematikers Brahmagupta. Erstellt wurde das in Versform geschriebene Buch ungefähr im Jahr 628.[1]

Das Buch besteht aus 24 Kapiteln, die vor allem der Astronomie gewidmet sind. Zwei Kapitel behandeln mathematische Themen und sind eine deutliche Weiterentwicklung der Mathematik, wie sie im Werk Aryabhatiya des Mathematikers Aryabhata dargelegt ist: In den 66 Versen von Kapitel XII und den 101 Versen von Kapitel XVIII werden arithmetische und algebraische Rechenmethoden ohne Beweise äußerst knapp beschrieben.

Negative Zahlen

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Im Buch findet sich die älteste bekannte systematische Beschreibung der Eigenschaften der Null, der positiven und negativen Zahlen, wobei eine Vorstellung von Eigentum und Schuld zugrunde liegt:

„[Die Summe] von zwei Positiven ist positiv, von zwei Negativen negativ; von einer Positiven und einer Negativen ist [die Summe] ihre Differenz; wenn sie gleich sind, ist sie null. Die Summe einer Negativen und null ist negativ, von einer Positiven und null positiv und von zwei Nullen null. [Wenn] eine kleinere Positive subtrahiert wird von einer größeren Positiven, [dann] ist [das Ergebnis] positiv; [wenn] eine kleinere Negative von einer größeren Negativen, [so] ist [das Ergebnis] negativ; … Das Produkt einer Negativen und einer Positiven ist negativ, von zwei Negativen positiv, von zwei Positiven positiv; das Produkt von null und einer Negativen, von null und einer Positiven oder von zwei Nullen ist null ...“

Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Verse 30 bis 33[2]

Quadratische Gleichungen

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Die Zulässigkeit negativer Zahlen verwendete Brahmagupta dazu, quadratische Gleichungen in allgemeiner Form ohne Fallunterscheidungen zu lösen. Konkret beschrieb er die Berechnung einer Lösung der quadratischen Gleichung, die man heute in der Form

   mit   und  

notiert, in verbaler Weise, d. h. ohne Formeln:

„Verringere mit der mittleren [Zahl] [gemeint: der Koeffizient der Unbekannten, also  ] die Quadratwurzel des Absolutwertes multipliziert mit dem Vierfachen des Quadrats [gemeint: Koeffizient   des Quadrats der Unbekannten] und erhöht um das Quadrat der mittleren Zahl; teile den Rest durch das doppelte des Quadrats [gemeint: Koeffizient   des Quadrats der Unbekannten]. [Das Ergebnis] ist die mittlere [Zahl] [gemeint: die Unbekannte  ]“

Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Vers 44[2]

Das entspricht der Lösungsformel

 

Pellsche Gleichungen

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In Kapitel XVIII, Verse 64 bis 71[3] werden spezielle diophantische Gleichungen, nämlich Pellsche Gleichungen, untersucht. Dabei wird zu zwei (nicht unbedingt verschiedenen) Lösungspaaren   der Pellschen Gleichung

 
 
Ein Kommentar von Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta, den Pṛthūdhaka im 10. Jahrhundert erstellt hat

ein drittes Lösungspaar   mittels der Brahmagupta-Identität berechnet. Brahmagupta verwendet sogar noch eine etwas allgemeinere Version, bei der zu Lösungspaaren   der beiden Gleichungen

  und  

ein Lösungspaar der Gleichung

 , nämlich
  und  ,

berechnet wird.

Die Werke Brahmaguptas und seiner Zeitgenossen, insbesondere betreffend Astronomie und die indisch-arabische Ziffernschreibweise, haben mittels Übersetzungen ins Arabische die Entwicklung der islamischen Mathematik maßgeblich beeinflusst. Dabei wurde allerdings von den arabischen Mathematikern wie al-Chwarizmi die Verwendung negativer Zahlen nicht aufgegriffen.[4]

Verfügbare Editionen

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Die erste Übersetzung in eine europäische Sprache samt einer breiten Verfügbarmachung geht auf Henry Thomas Colebrooke im Jahr 1817 zurück.[5] Im Jahr 1902 erfolgte eine Edition ohne Übersetzung.[6] Eine Originalversion in Sanskrit mit Kommentaren in Englisch wurde 1966 veröffentlicht.[7]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. A. P. Juschkewitsch: Geschichte der Mathematik im Mittelalter. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1964, S. 94.
  2. a b Zitiert nach der Übersetzung von Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. 6. Auflage. Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, S. 6 f., doi:10.1007/978-3-658-26152-8.
  3. Kim Plofker: Mathematics in India. In: Victor J. Katz: A sourcebook in the mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11485-9, S. 154–156, doi:10.1515/9780691235394.
  4. Kim Plofker: Mathematics in India. In: Victor J. Katz: A sourcebook in the mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11485-9, S. 434, doi:10.1515/9780691235394.
  5. Henry Thomas Colebrooke: Algebra with arithmetic and mensuration from the Sanskrit of Brahmegupta and Bhascara. London 1817 (archive.org – 4 Bände).
  6. Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta and Dhyānagrahopadeṣadhyāya. Hrsg.: Sudhākara Dvivedin. Medical Hall Press, Benares 1902 (archive.org).
  7. Brahmagupta, Ram Swarup Sharma, Pṛthūdakasvāmin, Sudhākara Dvivedī (Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research): Brāhma-sphuṭa-siddhānta. New Delhi 1966 (archive.org).