Die Carleman-Ungleichung , benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman , ist eine elementare Ungleichung der Analysis . Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge
(
a
k
)
k
{\displaystyle (a_{k})_{k}}
∑
a
k
{\displaystyle \sum a_{k}}
eulersche Zahl
e
{\displaystyle e}
Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.
Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.
Sei
(
a
k
)
k
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
)
{\displaystyle (a_{k})_{k}=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}
e
{\displaystyle e}
e
≈
2,718
28
…
{\displaystyle e\approx 2{,}71828\ldots }
∑
k
=
1
∞
(
a
1
a
2
…
a
k
)
k
≤
e
⋅
∑
k
=
1
∞
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt[{k}]{(a_{1}a_{2}\ldots a_{k})}}\leq e\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}~\,}
Dabei ist
e
{\displaystyle e}
Wegen
1
n
(
n
+
1
)
=
1
n
−
1
n
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}}
∑
n
=
k
∞
1
n
(
n
+
1
)
=
1
k
{\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{k}}\quad }
Teleskopsumme )
und aus
1
e
n
<
∏
k
=
1
n
(
k
k
+
1
)
k
=
∏
k
=
1
n
(
k
+
1
)
k
k
(
k
+
1
)
k
+
1
=
(
n
+
1
)
!
(
n
+
1
)
n
+
1
=
n
!
(
n
+
1
)
n
{\displaystyle {\frac {1}{e^{n}}}<\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{k}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}={\frac {n!}{(n+1)^{n}}}}
1
e
<
n
!
n
n
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{e}}<{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}}
∑
k
=
1
∞
a
k
=
∑
k
=
1
∞
∑
n
=
k
∞
1
n
(
n
+
1
)
k
a
k
=
∑
1
≤
k
≤
n
1
n
(
n
+
1
)
k
a
k
=
∑
n
=
1
∞
1
n
+
1
1
n
∑
k
=
1
n
k
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}k\,a_{k}=\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{n(n+1)}}k\,a_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,a_{k}}
AM-GM-Ungleichung
≥
∑
n
=
1
∞
1
n
+
1
∏
k
=
1
n
(
k
a
k
)
n
=
∑
n
=
1
∞
n
!
n
n
+
1
∏
k
=
1
n
a
k
n
≥
1
e
∑
n
=
1
∞
a
1
⋯
a
n
n
◻
{\displaystyle \geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}(k\,a_{k})}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\geq {\frac {1}{e}}\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\qquad \Box }
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt[{k}]{(a_{1}a_{2}\ldots a_{k})}}\leq e\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}~\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855daedc7f65d734fae1812449de01ac6401b6d1)
![{\displaystyle {\frac {1}{e}}<{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62eaa5076f26410e84d1dd16910ac70fad473c61)
![{\displaystyle \geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}(k\,a_{k})}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\geq {\frac {1}{e}}\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\qquad \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c7245f690243be97e26b8f1f643b988cc2f869)
