Cesàro-Kurve

strikt selbstähnliches Fraktal

Bei der Cesàro-Kurve handelt es sich um ein strikt selbstähnliches Fraktal, das um 1905 von Ernesto Cesàro beschrieben wurde. Sie stellt eine Verallgemeinerung der bekannten Koch-Kurve dar. Der Initiator ist wie dort ebenfalls die Einheitsstrecke, jedoch wird der Basiswinkel des von der Kurve umschlossenen gleichschenkligen Dreiecks, der bei der Koch-Kurve θ = 60° beträgt, variabel im Bereich von θ = 0° bis θ = 90°. Somit ergibt sich die Cesàro-Kurve als eine Kurvenschar mit dem Parameter θ.

Verschiedene Cesàro-Kurven

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Zehn verschiedene Cesàro-Kurven von θ = 0 ° bis θ = 90 ° in Schritten von 10°

In Abhängigkeit vom Parameter θ ergeben sich sehr unterschiedliche Kurven. Für θ = 0° erhält man die Einheitsstrecke, da es zu keiner Längenzunahme kommt. Mit zunehmendem θ wirkt die Kurve rauer und zerklüfteter, da ihre fraktale Dimension von 1 bei θ = 0° bis auf 2 bei 90° steigt, wo die Kurve schließlich ein gleichschenkliges Dreieck mit der Fläche 1/4 ausfüllt. In diesem Fall handelt es sich daher um eine fraktale Füllkurve.

Die fraktale Dimension lässt sich anhand der folgenden Formel bestimmen:

 

Die Fläche unterhalb der Cesàro-Kurve

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Die Fläche „unterhalb“ der Kurve (also zwischen Kurve und Initiator) ergibt sich als Funktion einer Reihe über den Parameter  :[1]

 

Dabei steigt die Fläche von   bei   bis auf   bei   an.

Einzelnachweise

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  1. Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS), A. Jablonski, (Online)

Literatur

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