Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen „klassifizierende Objekte“ gibt.

Definition

Ein kontravarianter Funktor $F\colon C\to \mathbf {Set}$ von einer Kategorie $C$ in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar $(X,u)$ bestehend aus einem Objekt von $C$ und einem Element $u\in F(X)$ gibt, so dass

$\mathrm {Hom} _{C}(T,X)\to F(T),\quad f\mapsto F(f)(u)$

für alle Objekte $T$ von $C$ bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

$F(T)=\mathrm {Hom} _{C}(T,X).$

Ein kovarianter Funktor $G\colon C\to \mathbf {Set}$ heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar $(X,u)$ gibt, so dass

$\mathrm {Hom} _{C}(X,T)\to G(T),\quad f\mapsto G(f)(u)$

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

• Für ein Element von $F(T)$ heißt der entsprechende Morphismus $T\to X$ auch klassifizierender Morphismus.
• $X$ heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch $X$ selbst die natürliche Äquivalenz

$F\cong \mathrm {Hom} _{C}({-},X)$ bzw. $G\cong \mathrm {Hom} _{C}(X,{-})$

noch nicht festgelegt ist.

• $u$ wird oft universell genannt, weil jedes Element von $F(T)$ für irgendein Objekt $T$ Bild von $u$ unter $F(f)$ mit einem geeigneten Morphismus

$f\colon T\to X$

ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

Eigenschaften

• Wird ein kontravarianter Funktor $F$ wie oben einerseits durch $(X_{1},u_{1})$, andererseits aber auch durch $X_{2},u_{2}$ dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus $i\colon X_{1}\to X_{2}$, für den $F(i)(u_{2})=u_{1}$ gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von $u_{1}\in F(X_{1})$ bezüglich $(X_{2},u_{2})$.
• Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d. h.

$F(\mathrm {colim} \,X_{i})\,=\,\lim F(X_{i})$ bzw. $G(\lim X_{i})\,=\,\lim G(X_{i})$.

Beispiele

• Die Bildung der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(T)$ einer Menge $T$ kann als kontravarianter Funktor ${\mathcal {P}}\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ betrachtet werden: für eine Abbildung $f\colon T\to S$ von Mengen sei die induzierte Abbildung ${\mathcal {P}}(f):{\mathcal {P}}(S)\to {\mathcal {P}}(T)$ das Urbild von Teilmengen: ${\mathcal {P}}(f)(U)=f^{-1}(U)$.

Dieser Funktor wird durch das Paar $(\{0,1\},\{1\})$ dargestellt, denn ist $T$ ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist $\mathrm {Hom} (T,\{0,1\})\rightarrow {\mathcal {P}}(T),\,f\mapsto {\mathcal {P}}(f)(\{1\})=f^{-1}(\{1\})$ bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge $U\subseteq T$ ist also die charakteristische Funktion $\chi _{U}$ von $U$, denn $\chi _{U}^{-1}(\{1\})=U$.

• Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:

von	nach	dargestellt durch
Abelsche Gruppen	Mengen	$(\mathbb {Z} ,1)$
Vektorräume über einem Körper $K$	Mengen	$(K,1)$
unitäre Ringe	Mengen	$(\mathbb {Z} [T],T)$
Topologische Räume	Mengen	$(*,*)$ (ein einpunktiger Raum)

• Ein Beispiel aus der kommutativen Algebra bilden die Kähler-Differentiale mit der universellen Derivation.
• Die Fundamentalgruppe eines punktierten topologischen Raumes ist per definitionem ein darstellbarer Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen punktierter Abbildungen als Morphismen:

$\pi _{1}(X,x_{0})=[(S^{1},*),(X,x_{0})].$

• Die erste Kohomologiegruppe $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor, der durch die 1-Sphäre $S^{1}$ zusammen mit einem der beiden Erzeuger von

$H^{1}(S^{1},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume $K(\pi ,n)$ für die Funktoren $H^{n}({-},\pi )$ für beliebige abelsche Gruppen $\pi$ und natürliche Zahlen $n$. Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auch

Oben vorgestellte Abbildungen der Form $\mathrm {Hom} _{C}(T,X)\to F(T),f\mapsto F(f)(u)$ kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.