Dichtebündel

Spezialfall eines Vektorbündels

Ein Dichtebündel ist ein Spezialfall eines Vektorbündels und wird im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie untersucht. Mit Hilfe dieser Bündel kann man einige aus der Analysis bekannte Objekte auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. So kann man ähnlich wie mit Differentialformen einen Koordinaten-invarianten Integralbegriff auf Mannigfaltigkeiten definieren. Man findet mit Hilfe dieser Bündel Verallgemeinerungen der Lp-Räume und der Distributionenräume auf Mannigfaltigkeiten.

Definition

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r-Dichte

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Sei   ein reeller,  -dimensionaler Vektorraum und mit   wird die n-te äußere Potenz des Vektorraums   notiert. Für jedes   definiert man eine r-Dichte als eine Funktion  , so dass

 

für alle   und für alle   gilt. Der Vektorraum der  -Dichten wird mit   notiert.

r-Dichtebündel

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Sei   eine glatte,  -dimensionale Mannigfaltigkeit und   eine reelle Zahl. Mit   wird der Raum der globalen Schnitte auf einem Vektorbündel notiert.

Analog zur obigen Definition ist eine  -Dichte auf einer Mannigfaltigkeit eine Abbildung

 

mit

 

für alle   und für alle glatten Funktionen  .

Das Vektorbündel der  -Dichten ist dann definiert durch

 

Mit   wird das Tangentialbündel bezeichnet.

Pullback

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Für   induziert eine glatte Abbildung   zwischen zwei glatten  -dimensionalen Mannigfaltigkeiten einen Pullback

 

welcher für alle   durch

 

definiert ist. Dabei ist   der Pushforward von  , sind   und   Untermannigfaltigkeiten so ist   die Jacobi-Matrix von  .

Dualraum

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  1. Sei   wieder eine glatte Mannigfaltigkeit. Da der Vektorraum der 0-Dichten   nur aus den konstanten Funktionen besteht, gilt für das entsprechende Dichtebündel
     
  2. Für   gilt die Isomorphie
     
  3. Aus den Eigenschaften 1. und 2. folgt
     
    und daher ist   der Dualraum von   und man schreibt
     

Integration auf Mannigfaltigkeiten

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Eins-Dichten sind insbesondere deshalb wichtig, weil sie (koordinatenunabhängig) auf Mannigfaltigkeiten integriert werden können. Ihr Vorteil gegenüber Differentialformen, welche auch diese Eigenschaft haben, ist, dass man Dichten auch auf nicht orientierbaren Mannigfaltigkeiten integrieren kann.

Definition

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Sei also   eine glatte Mannigfaltigkeit und sei   eine 1-Dichte. Dann ist das Integral   von   über   wie folgt definiert. Sei   eine endliche Familie von Karten, welche   überdecken. Und sei   eine subordinierte Zerlegung der Eins. Dann setze

 .

Die rechte Seite ist unabhängig von der Wahl der Karte und der Wahl der Zerlegung der Eins.

Eigenschaften

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  • Das Integral ist invariant bezüglich Diffeomorphismen. Das heißt, für alle glatten Mannigfaltigkeit   und   der gleichen Dimension   und jeden Diffeomorphismus   und jede 1-Dichte   gilt
     
  • Das Integral ist lokal, das heißt, für jede Teilmenge   und jede 1-Dichte   mit   gilt
     
  • Für jedes   gilt
     
    Das rechte Integral ist ein normales Lebesgueintegral einer glatten Funktion mit kompaktem Träger.

Sei   eine messbare 1-Dichte mit kompaktem Träger. Existiert das Integral  , so nennt man   einen  -Schnitt dessen Norm durch

 

gegeben ist. Die Vervollständigung dieser Menge bezüglich der gegebenen Norm liefert den Raum   Ist die Mannigfaltigkeit kompakt, so bewirkt die Vervollständigung nichts.

Lp-Räume

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Seien nun   und   und eine der beiden Dichten habe kompakten Träger. Dann ist aufgrund der Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum   und hat kompakten Träger. Somit ist   integrierbar.

Ist   integrierbar so spricht man analog von einem  -Schnitt dessen Norm durch

 

gegeben ist. Die Vervollständigung liefert den Raum   Ebenfalls wieder wegen Eigenschaft zwei aus dem Abschnitt Dualraum ist der Raum   mit   der Dualraum zu  

Beispiele

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Dichtebündel über dem reellen Raum

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Sei   die zu betrachtende Mannigfaltigkeit. Das Tangentialbündel   ist ein triviales Vektorbündel, daher existieren in   und im Dichtebündel   globale Schnitte. Sei   die kanonische Basis von  , dann ist   eine Basis des eindimensionalen Raums  . Es gibt dann einen glatten nirgends verschwindenden Schnitt  , der durch

 

definiert ist. Für jede glatte Abbildung   ist   eine glatte 1-Dichte. Das Objekt   kann als das Lebesgue-Maß verstanden werden.[1]

Sei   ein glatter Diffeomorphismus, dann gilt

 

Dabei bezeichnet   die Jacobi-Matrix von  .[1] Diesen Zusammenhang findet man auch bei der Koordinatentransformation von Integralen. Vergleiche dazu auch Transformationssatz.

Riemannsche Dichte

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Sei   eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, dann existiert für das Tangentialbündel ein orthonormaler Rahmen   bezüglich der riemannschen Metrik. Der eindeutig bestimmte globale Schnitt   mit

 

heißt riemannsche Dichte. Dieser Schnitt existiert ohne weitere Voraussetzungen immer.[2]

Tensordichte

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Ersetze in der Definition von   das Tangentialbündel   durch das Tensorbündel   Dann heißt das davon induzierte Dichtebündel   das  -Tensordichtebündel. Im Fall   heißen die Elemente Tensorfelder.

Distributionen

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Da man wie weiter oben im Artikel beschrieben 1-Dichten über Teilmengen einer Mannigfaltigkeit integrieren kann, erlaubt dies nun Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Sei   der Raum der glatten Schnitte   mit kompaktem Träger. So kann man eine von   induzierte Distribution

 

definieren durch

 

Aus diesem Grund setzt man

 

Dies ist der Raum der glatten Schnitte mit kompaktem Träger, welcher analog zum Raum der Testfunktionen mit kompaktem Träger definiert ist. Der Raum der Distributionen ist dann analog zur reellen Analysis als topologischer Dualraum definiert. Man setzt also

 

Literatur

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  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3.
  • S. R. Simanca: Pseudo-differential operators (= Pitman Research Notes in Mathematics Series 236). Longman Scientific & Technical u. a., Harlow u. a. 1990, ISBN 0-582-06693-X.

Einzelnachweise

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  1. a b Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3, S. 108.
  2. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 33.