Der Dichtheitssatz von Borel (engl.: Borel density theorem) ist ein Lehrsatz der Mathematik, der Gitter in algebraischen Gruppen, wie zum Beispiel in , charakterisiert.

Er besagt, dass jede auf einem Gitter verschwindende polynomielle Funktion auf der gesamten algebraischen Gruppe identisch 0 sein muss.

Sei   eine zusammenhängende halbeinfache  -algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor, und sei   ein Gitter in  .

Dann ist   Zariski-dicht in  .

Anwendungen

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Im Folgenden setzen wir voraus, dass   und   die Voraussetzungen des Dichtheitssatzes erfüllen.

  • Wenn   eine irreduzible polynominelle Darstellung von   ist, dann ist die Einschränkung von   auf   ebenfalls eine irreduzible Darstellung.
  • Wenn eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe   von   normalisiert wird, dann ist sie ein Normalteiler von  .
  • Der Zentralisator von   in   ist das Zentrum   von  .
  • Jeder endliche Normalteiler von   ist in   enthalten.
  •   ist eine Untergruppe von endliche Index in seinem Normalisator.
  • Es gibt eine Zerlegung  , so dass   ein irreduzibles Gitter in   und   mit   kommensurabel ist.
  • Für polynomiale Funktionen   auf   gilt:
 

Literatur

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  • Armand Borel: Density properties for certain subgroups of semi-simple groups without compact components. Ann. of Math. (2) 72, 179–188, 1960.
  • M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972.
  • R. J. Zimmer: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984.
  • D. Witte Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2/pbk 978-0-9865716-1-9/hbd