Diskussion:Differentialgleichung

Überarbeitung des Artikel am 2006-12-24. --88.72.95.55 23:09, 24. Dez. 2006 (CET)

Dynamische Systeme

Es wäre gut, wenn hier auch noch der Begriff "dynamisches System" mit aufgenommen würde und evtl. ein "Stub" dazu angelegt würde. Hier könnte man dann auf die interessanten *qualitativ/geometrischen* Aspekte der Theorie eingehen, nämlich das asymptotische Verhalten der Lösungen für t -> +- oo: Grenzmengen wie Fixpunkte, Grenzzyklen, aperiodische Grenzmengen, Stabilitätsaspekte (Attraktoren, Chaos) etc.

Thomas Nordhaus thnord2002@yahoo.de

P.S. Ich wäre gerne bereit, einen Artikel dazu zu schreiben (trau mich aber noch nicht ;-). Es gibt übrigens einen englischsprachigen Wiki-Artikel "dynamical system" ich würde aber nicht gerne nur eine reine Übersetzung liefern.

Der Begriff dynamisches System ist durchaus wichtig genug für einen eigenen Artikel. Mach doch ruhig mal nen Stub indem der Begriff sauber definiert und der Zusammenhang zum DGLs erklärt wird. Das dürfte ein guter Anfang sein, aus dem sich der Artikel entwickeln kann.

Ansonsten, schau doch mal aufs Portal Mathematik. Und zwecks Übersichtlichkeit in der Diskussion, Deine Diskussionsbeiträge bitte immer mit vier ~ unterschreiben. Viele Gruesse --DaTroll 14:26, 25. Apr 2004 (CEST)

OK, habe unter viel Mühen (bin nicht mehr sehr des TeX mächtig) einen Anfang gemacht. 62.224.61.130 18:23, 25. Apr 2004 (CEST)Thomas

Differentiale

wie ist eigentlich die korrekte Bezeichnung für das "d" in dx/dt = ... und ähnlichen Ausdrücken? -- Schusch 21:29, 28. Apr 2004 (CEST)

Mhhh. Bei dy/dx kann ich es Dir ungefähr erklären. Wenn f(x) = y = x² ist, dann ist die Ableitung f'(x) = y' = dy/dx = 2x.

Umgekehrt kann ich auch schreiben dy = 2*x*dx. Diesen Ausdruck kann ich Integrieren $\int _{-\infty }^{\infty }dy=\int _{-\infty }^{\infty }2xdx$

F(x) = y = x²

Naja, zumindest bei letzerem bin ich mir nicht ganz sicher. Ich bin Autodidakt, und versuche, die am Beispiel zu lernen. --Arbol01 22:52, 13. Mai 2004 (CEST)

Achja, ganz wichtig: $dy/dx$ ist nicht mit $\Delta y/\Delta x$ zu verwechseln:

$y'={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2x+\Delta x$ --Arbol01 23:01, 13. Mai 2004 (CEST)

das Delta bei dieser Schreibweise ist ein Großbuchstabe; nicht der Kleinbuchstabe. Abgeändert, damit wir niemanden verwirren. -- Iammrvip 02:59, 2. Jan 2005 (CET)

hej, Arbol, danke! - Aber du denkst viel zu kompliziert (oder, und das ist auch nicht unwahrscheinlich ... ich stelle meine Frage nicht klar genug) - ich will wirklich nur wissen, wie das "d" bei dx heißt, es hat meines Wissens nach einen Namen, sowas wie Differentialoperator (oder was weiß ich - die Bezeichnung fehlt mir gerade ...) -- Schusch 23:15, 13. Mai 2004 (CEST)

Ich weiß nicht, ob das d einen eigenen Namen hat. dx heißt Differential. Ein Differentialoperator ist etwas allgemeineres: ein Operator, in dem Ableitungen auftauchen. Banales Beispiel: der ableitungsoperator d/dx. viele Gruesse --DaTroll 23:22, 13. Mai 2004 (CEST)

Auch mir ist da kein Name bekannt und zur Kursivschreibung hab ich auch keine eigene Meinung. Ich hab aber gerade einen Doktor gefragt, der gerade eine Numerik-Uebung gibt, was er darueber weiss.

Er sagt, ihm ist es gleich, ob man ${\frac {d}{dx}}f(x)$ oder ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)$ schreibt, er bevorzugt wegen der einfacheren Schreibung die kursive. er schreibt es aber sowieso anders, naemlich als ${\frac {df}{dx}}(x)$, was spaetestens dann sinnvoll wird, wenn man ${\frac {d}{dx}}\sin(0)$ bestimmt, und ein Depp auf die Idee kommt, erst $\sin(0)$ zu berechnen.

Er kennt aber auch keinen Namen fuer das "d". Das d hat soweit wir wissen fuer sich allein keine Bedeutung. --SirJective 16:21, 14. Mai 2004 (CEST)

Vielleicht geht es hier nach dem Motto: "sag mir deinen Namen, und ich sage dir, wie du heißt!". Spaß beiseite: ich glaube nicht, dass es hier eine Begriffsbildung wie Divisor und Divident für die Division gibt, kann ja aber auch eh keiner auf Dauer auseinanderhaltenRaiNa 17:48, 23. Mai 2004 (CEST)

Plural der Abkuerzung

Wie lautet der Plural von DGL ? Bitte mal ein Meinungsbild abgeben.

• DGLs --Matthy 15:06, 6. Sep 2004 (CEST)

• DGLen -- Der Plural ist eindeutetig DGLen. Denn wer sagt bitte schon Differentialgleichungen_s_?? Also darf man auch nicht DGLs schreiben. -- Iammrvip 02:59, 2. Jan 2005 (CET)

• DGL (Jacke wie Hose). DGL - Differentialgleichung | DGL - Differentialgleichungen ! --Arbol01 15:12, 6. Sep 2004 (CEST)

• DGL, DGLen oder ODEs, aber auf keinen fall DGLs (es heisst ja auch nicht differentialgleichungs) --seth 22:20, 7. Sep 2004 (CEST)

• Ich wuerde prinzipiell solche Abkuerzungen moeglichst umgehen. Ansonsten: DGLs auf keinen Fall (einfach falsches Deutsch), ob DGL oder DGLen ist mir egal. Viele Gruesse --DaTroll 10:38, 8. Sep 2004 (CEST)

• Laut Bastian Sicks „Der Dativ ist dem Genitiv sein Tod“ lautet der Plural einer abgekürzten Form, sagen wir z.B. DGL, genau so wie diese, also DGL. --Robb der Physiker 22:03, 25. Jan 2006 (CET)

• der duden (newsletter von 2002-05-03) ist imho da eine weitaus bessere referenz, obgleich er u.a. meine obige antwort als falsch werten wuerde. --seth 22:20, 25. Jan 2006 (CET)

wie wärs mit einem einfachen Beispiel?

Hi!

Wie wäre es mit einem einfachen Beispiel, wie man eine Differentialgleichung löst? Am besten mehreren, sowas scheint ja im "Netz" nicht wirklich zu existieren, zumindest ist es auf die schnelle nicht auffindbar. Vorallem sollte ein Beispiel schön erläutert sein. Ich weiß eigentlich, daß die Sache (also das "Rechnen" selbst) ziemlich simpel ist, leider findet man nirgends eine brauchbare Anleitung. Ich weiß es hat bei den Mathematikern Tradition für Schritte bei denen jeder normale Student 5-20 Zeilen anschreibt in 2-5 Zeilen abzuhandeln, aber darin seh ich nicht wirklich den Sinn von dem ganzen. Es sei denn Wikipedia will seine "Mathematikseiten" nahtlos an die meisten Mathematikbücher angleichen, die in etwa so funktionieren "wenn sie es verstanden haben, können Sie noch schnell die Formel nachschlagen und 3 von 20 Schritten des Beweises lesen". Leider die einzige mir bekannte Ausnahme davon ist: Howard Anton: Lineare Algebra, da werden Wörter auch dazu benutzt Sachverhalte zu erläutern und kommen nicht nur in mathematischen Sätzen, Lemmas, etc. vor.

Vielleicht solltest du den Artikel nochmal lesen, es taucht ein Beispiel auf und insbesondere wird erklärt, daß es nicht DIE Methode gibt, DGLs zu lösen. Deswegen wäre ein ausführliches Beispiel hier auch komplett irreführend. Viele gruesse --DaTroll 14:25, 19. Dez 2004 (CET)

Es ging nicht um ein Beispiel, sondern um ein verständliches! Es geht nicht um DIE Methode bzw. wie man auf einen Lösungsansatz kommt, sondern darum ein Beispiel zu lösen und zwar ein einfaches und zwar so, daß es auch für mathematische Dilettanten nachvollziehbar ist. Weil so eine zwei Zeilen Lösung mag zwar ganz nett sein bringt aber den meisten wohl absolut nix und für die die es verstehen ist es wohl kein Problem die einzelnen Schritte auszuschreiben, jaja ich weiß es ist redundant, aber daß ist die Sprache auch und ich laß deshalb auch nicht Konjunktionen, Präpositionen und die Hälfte aller Verben weg! Wie wärs damit eine Beispiel Sektion anzufügen, wo eine DGL direkt, durch Seperation der Variablen und mittels Variation der Konstanten berechnet wird? Und zwar NICHT in zwei Zeilen! --Rattusdatorum 18:16, 30. Dez 2004 (CET)

Naja, wir schreiben hier keine Lehrbücher, sondern eine Enzyklopädie. Lehrbücher gibts bei WikiBooks. Den Stoff hier für mathematische Dilletanten komplett aufzubereiten ist übrigens unmöglich: ohne Ableitung keine Differentialgleichung. Ansonsten: gehört der konkrete Inhalt den Du angesprochen hast (von dem ich auch meine, daß er reinsollte), nicht eher in Gewöhnliche Differentialgleichung? Viele Gruesse, --DaTroll 18:53, 30. Dez 2004 (CET)

Hi DaTroll. Hab deine "Nachricht" erhalten, danke! :) Also wenn ich das richtig verstehe dann plädiert ihr dafür, dass man sowas wie ich mit den getrennten Variablen geschrieben habe eher zu den Gewöhnlichen Differentialgleichungen schreibt? Also ich sehe da jetzt noch nicht so den Unterschied. Aber i. A. hast Du natürlich recht, dass Bsp. zum Verfahren mit den getrennten Variablen gehört eigentlich in die Gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ich mach das mal noch fertig (da ist noch nen Fehler drinne) und füge, dass dann bei den Gewöhnlichen Dff.gleichungen ein ok?

Aber wollt ihr hier garkeine Beispiele? Also nur theoretisch was ne Diff.Gleichung ist und wie man die rein theoretisch lösen könnte? Danke für den Hinweis. Ich hab nicht ordentlich gelesen. ;) Gruß! --Korpsvart 15:14, 9. Apr 2005 (CEST)

Ich bin nicht prinzipiell gegen Beispiele. Aber was für ein Beispiel willst du denn hier haben, was nicht schon dasteht? Viele Gruesse --DaTroll 14:30, 10. Apr 2005 (CEST)

Soweit ich das aus meinen Theoretische Physik und Analysis Vorlesungen her kenne, sollten wir vielleicht das einfachste Lösungsbeispiel schlechthin hier anführen, was – im Gegensatz zum bisherigen – sogar für diese DGL funktioniert: $x'=ax$ mit der allgemeinen Lösung $x(t)=ke^{at}$. --Robb der Physiker 22:03, 25. Jan 2006 (CET)

hey, wie wäre in diesem artikel mit einer für laien verständlichen erklärung und deren einfache rechenbeispiele + begriffserklärung(z.b.:was ist F,y',y'',f,R u.s.w.). das wäre dann wirklich eine richtige innovation für mathematikverständnis bei laien. dominik 30.01.2007

Nach wie vor existiert eine gewisse Erwartungshaltung, dass dem Artikel das eine oder andere Beispiel hinzugefügt wird und so eine möglichst große Leserschaft in die Lage versetzt wird, den Artikel zu verstehen und zu nutzen. Werde eventuell in den nächsten Tagen einmal eine Beispielaufgabe einfügen - wenn als unpassend angesehen, kann immer noch geändert werden.--Gerhard Kemme 21:16, 10. Sep. 2010 (CEST)

Wer ein Beispiel sucht, sollte es schon schaffen, auf einen der drei hier angegebenen Links unter "Beispiele von Differentialgleichungen" zu klicken. Von dort kann er weiter bei seinen Beispielen verzweigen. Füge doch bitte dein Beispiel an der entsprechenden Stelle (lineare DGL, Bernoulli-DGL o.ä.) ein. --Tolentino 07:55, 11. Sep. 2010 (CEST)

Trennung der Variablen

Zitat: "Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bezeichnet." Ist Trennung der Variablen nicht was anderes? --NeoUrfahraner 23:53, 1. Mär 2005 (CET)

Das dachte ich auch. In meinem Analysis-Skript steht, dass man TdV bei einem so genannten nichtautonomen Anfangswertproblem anwendet, z.B. $x'=ax$ mit $a=a(t)=c+\sin t$. Eingesetzt: $x'={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}=(c+\sin t)x$, was ich umstellen kann ${\frac {1}{x}}{\rm {d}}x=c+\sin t~{\rm {d}}t$ wobei man sieht, dass ich die von $x$ und die von $t$ abhängigen Variablen voneinander getrennt habe. --Robb der Physiker 22:03, 25. Jan 2006 (CET)

InUse

Hiho, also die ersten Änderungen gehören nicht in diesen Artikel, sondern nach Gewöhnliche Differentialgleichung. Bitte im weiteren auf so etwas achten. Viele Gruesse --DaTroll 13:49, 9. Apr 2005 (CEST)

Hmm auf der Suche nach der Erklärung des "ersten Integrals" bin ich in der deutschen Wiki nicht fündig geworden, laut Skript stellt es die Erhaltungsgröße einer ODE dar (Energieerhaltung in der Physik ${\dot {x}}^{2}{\frac {m}{2}}+gx=const$ z.B). Wer weiß die genaue Definition?

$H=H(x)x\in R^{n}\!$ eine nach allen $x_{i}\!$ stetig differenzierbare Funktion für die

$(gradH(x))^{T}f(x)=0,\ \forall (x\in G)\!$

gilt, dann nennt man H(x)=const ein erstes Integral der DiffGl ${\dot {x}}=f(x)\!$

mfg Wdvorak 19:13, 8. Nov 2005 (CET)

Definition DGL

Muss es nicht eher heißen:

Eine Differential- [...] ist eine Gleichung, die eine Funktion und deren Ableitungen enthält.

Meinem Verständnis nach ist f'(x) +2 = 0 keine DGL. (Sie enthält zwar eine Ableitung aber nicht die zugehörige Funktion. Sonst wäre ja die Berechnung eine Ableitung an sich schon eine Differentialgleichung?! Denn obiges Beispiel ist äquvalent zu f'(x) = -2)

In dem Buch "Gewöhnliche Differentialgleichungen" von Dr. G. Bräuning (von 1965) findet sich die Definition: "Wir nennen eine Bestimmungsgleichung für eine Funktion einer unabhängigen Veränderlichen eine gewöhliche DGL, wenn in ihr eine Aleitung der gesuchten Funktion nach der unabhängigen Veränderlichen enthalten ist."

Und in einem Vorlseungsskript (Natterer, 98) findet sich: Unter einer Differentialgleichung verstehen wir eine Beziehung zwischen einer Funktion und einigen ihrer Ableitungen.

Dein Beispiel f'(x) + 2 = 0 enthaelt die Funktion f(x), nur mit Koeffizient Null. Sie ist eben durch simple Integration loesbar. Ein beruehmteres Beispiel fuer eine (partielle) DGL, die die Funktion nicht enthaelt, ist die Laplace-Gleichung. --Wrongfilter 13:10, 1. Mär 2006 (CET)

Aber handelt es sich dabei nicht um eine "entartete" Differentialgleichung? Ich finde die Definition sollte sich am allgemeinen Fall orientieren und diesen verständlich darlegen. Dass dann ein Koeffizient 0 sein kann ist mathematisch eigentlich selbstverständlich. --Monky 14:39, 2. Mär 2006 (CET)

Eben. Deshalb ist f'(x) + 2 = 0 ja auch eine DGL, und der Zusatz, eine DGL muesse die Funktion selbst enthalten, ist in der Definition entbehrlich und potentiell verwirrend. Ebensogut koennte man uebrigens auch f(x)=x als DGL ansehen, wenn man denn wollte, aber das entscheidende Charakteristikum einer DGL ist eben, dass sie Ableitungen enthaelt. --Wrongfilter 14:46, 2. Mär 2006 (CET)

Begriff wird nicht erklärt

In diesem Artikel wird erklärt, daß eine Differentialgleichung was mit Ableitungen zu tun hat, daß sich Menschen eine hübsche Notation dafür ausgedacht haben, daß sie sehr nützlich ist und daß es viele verschiedene Typen gibt. Das ist ja gut und schön, aber: Was ist denn jetzt bitteschön eine Differentialgleichung? Oder habe ich da was entscheidendes übersehen? Ach ja: Ich bin auf dieser Seite gelandet, weil ich wissen wollte, was eine Differentialgleichung ist, und fand diese theoretischen Ausführungen, obgleich notwendig, für mein Verständnis nicht ausreichend. --Idna 16:54, 2. Mär. 2007 (CET)

Eigentlich sollte Deine Frage im ersten Satz beantwortet sein. Ansonsten solltest Du genauer erklaeren, was Du Dir erwartest. --P. Birken 17:09, 2. Mär. 2007 (CET)

Möglicherweise erwarte ich ja mehr, als generell an dieser Stelle leistbar ist. Ich sehe, daß es sich hierbei um ein sehr komplexes Thema handelt. Ich hätte mich über einen Artikel gefreut, nach dessen Lesen ich weiß, wie eine Differentialgleichung aussieht, wie man sich das anschaulich vorstellen kann (z.B. in einem nicht-mathematischen Anwendungsfall), und für mich am wichtigsten: wie ich damit umgehen, sprich rechnen kann. Ich kann schlecht mehr sagen, da ich ja wie gesagt einen Grund hatte, auf diese Seite zu gelangen. Vielleicht ist die Wikipedia als Enzyklopädie ja aber auch nicht der Ort für einen didaktischer orientierten Ansatz. Nichts für ungut.--Idna 17:30, 2. Mär. 2007 (CET)

Da die verschiedenen Typen sich grundsätzlich unterscheiden, ist das unmöglich. Jedes Beispiel für eine Differentialgleichung wäre grob irreführend. Dies wird entsprechend nur in den Unterartikeln gemacht. --P. Birken 18:31, 2. Mär. 2007 (CET)

Ich habe gehört, dass es homogene und inhomogene Differntialgleichungen gibt. Hier finde ich nichts davon. Was bedeuten die Worte denn? 212.144.219.183 13:42, 15. Feb. 2008 (CET)

s. Lineare gewöhnliche Differentialgleichung. Oder auch mal nach "homogen" suchen. Ich wüßte nicht, ob DGls., die homogen 2. Grades sind, einen Vorteil bieten. Homogen ersten Grades ist immer linear. S. auch Fundamentalsystem und Variation der Konstanten.--LutzL 17:43, 15. Feb. 2008 (CET)

...wie üblich

ist dieser Mathe-Artikel in der deutschen Wikipedia für Laien völlig unverständlich, während die englische WP sogar meine Mutter versteht. Wie macht ihr das nur? :-( --84.56.191.83 16:41, 21. Apr. 2008 (CEST)

Und das soll jetzt genau wie besser werden? Ohne konstruktive, möglichst konkrete Kritik wird hier wohl nichts passieren. --P. Birken 22:19, 21. Apr. 2008 (CEST)

Lies doch einfach mal den Einleitungsblock der englischen WP und vergleich ihn mit der deutschen. Aber für konstruktive Arbeit ist P. Birken ja eh nicht bekannt, vielleicht erwarte ich zuviel. --84.56.180.152 10:20, 23. Apr. 2008 (CEST)

"A differential equation is a mathematical equation for an unknown function of one or several variables that relates the values of the function itself and of its derivatives of various orders." und "Eine Differentialgleichung (oft durch DGL abgekürzt) ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion y und deren Ableitungen nach einer oder mehreren Variablen x oder x=(x_1,...,x_m) auftreten." Was ist da jetzt der Unterschied? --NeoUrfahraner 10:42, 23. Apr. 2008 (CEST)

Ok, etwas ausführlicher:

Deutsch

Eine Differentialgleichung (oft durch DGL abgekürzt) ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion $y$ und deren Ableitungen nach einer oder mehreren Variablen $x$ oder $x=(x_{1},...,x_{m})$ auftreten. Ganz allgemein ist

$F\left(x,y,Dy,D^{2}y,\ldots ,D^{n}y\right)=0$

eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung. Hierbei bezeichnet $D^{k}y$ die $k$-ten Ableitungen nach der oder den Unbekannten $x$. Dabei beschreibt eine Differentialgleichung insbesondere das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden, bzw. andersherum sind Differentialgleichungen ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung.

Englisch

A differential equation is a mathematical equation for an unknown function of one or several variables that relates the values of the function itself and of its derivatives of various orders. Differential equations play a prominent role in engineering, physics, economics and other disciplines.

Visualization of airflow into a duct modelled using the Navier-Stokes equations, a set of partial differential equations.

Differential equations arise in many areas of science and technology; whenever a deterministic relationship involving some continuously changing quantities (modeled by functions) and their rates of change (expressed as derivatives) is known or postulated. This is well illustrated by classical mechanics, where the motion of a body is described by its position and velocity as the time varies. Newton's Laws allow one to relate the position, velocity, acceleration and various forces acting on the body and state this relation as a differential equation for the unknown position of the body as a function of time. In many cases, this differential equation may be solved explicitly, yielding the law of motion.

Differential equations are mathematically studied from several different perspectives, mostly concerned with their solutions, functions that make the equation hold true. Only the simplest differential equations admit solutions given by explicit formulas. Many properties of solutions of a given differential equation may be determined without finding their exact form. If a self-contained formula for the solution is not available, the solution may be numerically approximated using computers. The theory of dynamical systems puts emphasis on qualitative analysis of systems described by differential equations, while many numerical methods have been developed to determine solutions with a given degree of accuracy.

Vergleich

Nachdem ich die englische Einleitung gelesen habe, ist mir klar

• Was Diff-Gleichungen sind
• Woher sie kommen.
• Wo sie angewendet werden
• Warum man sie braucht
• Wie sie gelöst werden bzw was man tut, weil man sie nicht immer lösen kann.
• Welche Gebiete der Mathematik sich damit beschäftigen

Nachdem ich die deutsche Einleitung gelesen habe, weiß ich:

• Dass in einer Diff-Gleichtung Ableitungen nach den Variablen $x$ oder $x=(x_{1},...,x_{m})$ auftreten
• Dass $F\left(x,y,Dy,D^{2}y,\ldots ,D^{n}y\right)=0$ eine Diff-Gleichung n-ter Ordnung ist.
  • Wobei ich keine Ahnung habe, was mir das sagen will. Diff-Gleichungen sind eine Funktion F, die immer 0 ergibt? Was schert mich in der Einleitung die Ordnung?
• Diff-Gleichungen eine Möglichkeit sind, Naturgesetze zu formulieren. Vergleiche mit den bekannteren Naturgesetzen. In keinem der dort genannten Artikel taucht das Wort "Differentialgleichung" auf.

Für einen zB Biologen ist die deutsche Einleitung fast völlig nutzlos. Nach dem lesen der englischen Einleitung wusste ich alles, was ich wissen wollte. Faustregel: Deine Einleitung wird nicht verständlicher, wenn dort ein <math> auftaucht. --84.56.197.209 17:47, 23. Apr. 2008 (CEST)

Das heißt also, Du hast den Abschnitt "Auftreten und Anwendungen" gar nicht gelesen, weil Du vorher aufgehört hast? Soll man den Satz beginnend mit "Ganz allgemein ist ..." erst später bringen? --NeoUrfahraner 18:03, 23. Apr. 2008 (CEST)

Siehe zB hier oder hier. Gerade die Einleitung sollte das Thema doch jemandem erklären können, der es nicht kennt, im Idealfall sogar jemandem, der noch nicht mal aus der Richtung kommt. Zumindest geht mir das so, das ist IMHO das Kernproblem vieler der Matheartikel in der WP. Aber in eurem Portal/Projekt/... finde ich diese Forderung nicht, kann also durchaus sein, dass ich mit dieser Meinung allein bin. Aber frag dich doch mal: was bringt einem Germanisten, der in der 13. Klasse das letzte Mal eine Formel gesehen hat und einfach mal wissen will, "was diese Differentialgleichungen denn nun sind", die Information dass $F\left(x,y,Dy,D^{2}y,\ldots ,D^{n}y\right)=0$ eine Diff-Gleichung n-ter Ordnung ist? --84.56.197.209 18:12, 23. Apr. 2008 (CEST)

Heißt das konkret, dass der Abschnitt "Auftreten und Anwendungen" vorher kommen soll und die Formalitäten später? --NeoUrfahraner 18:16, 23. Apr. 2008 (CEST)

Pöbeln scheint Dir wohl mehr zu liegen als das Lesen: Portal:Mathematik/Qualitätsstandards. Den Sinn einer Einleitung hast Du allerdings auch nicht verstanden: sie soll auch den Gegenstand definieren, denn wir schreiben auch für die die das schon verstanden haben, aber die Sache nochmal nachschlagen wollen. Ich bin mal rüber, jetzt genehm? --P. Birken 20:00, 23. Apr. 2008 (CEST)

@NeoUrfahraner: Ja. Ich weiß, dass dies der klassischerweise verwendeten Didaktik in der Mathematik widerspricht (bin übrigens Diplomierter Informatiker (Universität), Nebenfach Mathe, Richtung abstrakte Algebra, behaupte also von mir ein grundlegendes Verständnis mathematischer Dinge zu haben). Zumindest laut Presseberichten ist man inzwischen jedoch an den Schulen auch zur Erkenntnis gelangt, dass man in der Mathematik den Formalismus nicht auf die erste Seite stellen sollen. Es geht darum, den Menschen begreifbar zu machen, wofür man etwas braucht, eh man ihn mit Formeln abschreckt. Ihr könnt es doch auch besser: keiner eurer exzellenten Artikel hat in der Einleitung ein <math> stehen (mal ab von a^2+b^2=c^2 ..). Bei keinem dieser Artikel würde jemandem, der die Geschichte schon verstanden hat, die Einleitung etwas bringen, auch wenn der für seine andere-zur-Mitarbeit-motiviernde-Grundhaltung bekannte P. Birken etwas anderes verlangt. Herr Birken, erklär doch mal welchem Nutzer mit welcher Fragestellung die Information $F\left(x,y,Dy,D^{2}y,\ldots ,D^{n}y\right)=0$ in der Einleitung etwas bringt? Wenn ihr euch eure Exzellenten (davon viele von dir) anschaut, warum folgert ihr nicht daraus, dass eben die Einleitung zB den Oma-Test bestehen muss? Ich konnte meiner Oma erklären, was nun die abstrakte Algebra ist. Dazu habe ich aber nicht mit den Eigenschaften eines Körpers angefangen, sondern am Beispiel der Uhr erklärt, dass eben 10 + 4 nicht immer 14 sein muss. Was spricht dagegen, zu verlangen, dass der Anspruch eines Artikels von oben nach unten steigen soll? Das fordern anderen Portale übrigens schon länger, nur die Mathematik verweigert ;-) sich diesem Anspruch noch. Herr Birken, du bist scheinbar noch an der Universität, frag doch einfach mal einen zB Biologen, ob sich die Wikipedia generell zum nachschlagen eignet. Und dann frag ihn, ob dies auch für mathematische Artikel gilt. Zumindest mein Bekanntenkreis (überwiegend Naturwissenschaftler) fand damals die WP für mathematische Themen völlig ungeeignet :-( --84.56.174.40 09:12, 24. Apr. 2008 (CEST)

Also ich kann mich durchaus damit anfreunden, den Formalismus erst später im Artikel zu bringen, etwa im Abschnitt "Typen von Differentialgleichungen". Wenn das Dein konkretes Anliegen ist (ob's das ist, ist mir immer noch nicht klar), kann man sicher darüber diskutieren. --NeoUrfahraner 10:11, 24. Apr. 2008 (CEST)

Abstraktion

Weil's grad passt: zufällig bin ich heute über folgendes Zitat von Alexander Stepanov gestolpert:

At that time I discovered the works of Euler and my perception of the nature of mathematics underwent a dramatic transformation. I was de-Bourbakized, stopped believing in sets, and was expelled from the Cantorian paradise. I still believe in abstraction, but now I know that one ends with abstraction, not starts with it. I learned that one has to adapt abstractions to reality and not the other way around. Mathematics stopped being a science of theories but reappeared to me as a science of numbers and shapes. (zitiert in Bjarne Stroustrup: Evolving a language in and for the real world: C++ 1991-2006. ACM HOPL-III. June 2007. p 18

Also wenn's nicht ums Pöbeln geht, bin ich für eine konstruktive Diskussion, wie man den/die Artikel didaktisch besser aufbauen soll (one ends with abstraction, not starts with it) durchaus offen. --NeoUrfahraner 08:20, 25. Apr. 2008 (CEST)

Ich setze mich nächstes (nicht dieses) WE mal dran, vorher kann ich leider nicht. Wenn es für Dr. Birken in Ordnung geht, dass der Artikel in Zukunft auch von Menschen verstanden werden kann, die nicht Mathe studiert haben. ;-) --84.56.163.72 11:30, 25. Apr. 2008 (CEST)

Du hast weiterhin nichts zum Artikel beigetragen außer hier die beleidigte Leberwurst zu spielen und mich zu beschimpfen. Wenn Du tatsächlich was zum Artikel beitragen willst außer sinnlosen Bausteinen, nur zu. --P. Birken 15:08, 26. Apr. 2008 (CEST)

Lösung nicht möglich oder nur nicht bekannt?

Eine Frage zu einem Satz im ersten Absatz: "Nicht nur weil für viele Differentialgleichungen keine explizite Lösungsdarstellung möglich ist ...". Ist es schon bewiesen, dass einige DGL nicht lösbar sind oder ist vielmehr das Lösungsverfahren noch nicht gefunden? -- OnkelSchuppig 20:19, 7. Nov. 2009 (CET)

Es ist bekannt, dass viele Funktionen nicht symbolisch integrierbar sind. Da die Aufgabe y'(x)=f(x) des Auffindens einer Stammfunktion schon eine einfache Differentialgleichung ist, folgt auch die allgemeinere Aussage. Partielle Differentialgleichungen fügen diesem Problem nochmals eine Dimension hinzu.--LutzL 12:51, 8. Nov. 2009 (CET)

In der Tat, die exakte Auflösbarkeit ist eher der seltenere Fall. --Tolentino 19:26, 9. Nov. 2009 (CET)

Steife Differentialgleichung

Der Typ "Steife Differentialgleichung" wird nicht erwähnt. -- Eomir 00:32, 9. Jul. 2010 (CEST)

Gehört auch nicht hierher sondern in einer Artikel über die numerische Lösung gewöhnlicher DGL. --NeoUrfahraner 16:53, 9. Jul. 2010 (CEST)

Definition

Also hier wurde nicht nur eine Definition, sondern auch Notation entfernt, auf die sich im Artikeln an mehreren Stellen bezogen wird. Ich finde es auch ansonsten nicht schlecht, eine allgemeine Definition hinzuschreiben und würde eher die reparieren über Definition von Variablen und Differentialoperatoren? --P. Birken 19:31, 31. Okt. 2011 (CET)

andere Notation

Liebe Mitwikipedianer,

ich habe im Studium auch Differenzialgleichungen gelernt. Wir haben aber eine gänzlich andere Notation verwendet und es fällt mir sehr schwer, diesem Artikel zu folgen.

Auch möchte ich mich dem Poster unten anschließen, der ein einfaches Beispiel und dessen Lösung vorgschlagen hat.

Man könnte da zum Beispiel

$f(x)=f^{'}(x)\to f(x)=e^{x}+c$

als einfachstes und trivialstes (und auch für viele Nichtmathematiker verständliches) Beispiel motivierend einführen. Genauso gilt natürlich, nun als Integralgelcihung formuliert:

$\int f(x)=f(x)\to f(x)=e^{x}$

Man bemerke wie nun die Integrationskonstante c fehlt!

Im übrigen gibt's da doch die Sache mit den harmonischen und partikulären Lösungen, getrennte Variablen etc... so genau krieg ich das leider auch nicht mehr zusammen, aber ich habe das Gefühl man könnte die Qualität des Artikels noch verbessern, was keine Kritik an den Autoren sein soll. (nicht signierter Beitrag von 139.18.187.76 (Diskussion) 00:33, 22. Aug. 2012 (CEST))

Hi, bitte füge neue Abschnitte unten an, da gibt es auch einen extra Knopf für. Sicher kannst Du eine Quelle für die "ganz andere Notation" angeben? Und was genau war der Punkt hier? Notation oder Beispiele? Und hast Du den Artikel zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen gelesen?--LutzL (Diskussion) 11:30, 22. Aug. 2012 (CEST)

Apropos einfachstes und trivialstes Beispiel: Für $c\neq 0$ ist doch $f(x)=e^{x}+c$ keine Lösung von $f(x)=f'(x)$. Du meinst vielleicht $f(x)=ce^{x}$. Eine Integralgleichung ohne Ingrationsgrenzen macht außerdem auch nicht viel Sinn. -- HilberTraum (Diskussion) 13:34, 24. Aug. 2012 (CEST)

Du hast Recht HilberTraum. Ich werde meine Vorlesungsaufschriebe noch mal durchlesen. (nicht signierter Beitrag von 78.42.173.93 (Diskussion) 23:51, 25. Aug. 2012 (CEST))

Worum geht es konkret?

Ich habe 1959 mein Abi gemacht, und zwar ziemlich gut. In Mathe habe ich aber nur überlebt, weil ich "Differentialrechung" und "Integralrechung" stur auswendig gelernt und immer das gesagt habe, was der Lehrer hören wollte. Begriffen habe ich aber nie, wozu man das im praktischen Leben braucht. (Anders in der sphärischen Trigonometrie: Da war ich immer der Kapitän, der wissen wollte, wo sich gerade sein Schiff befindet. Das konnte ich mir sehr gut vorstellen.)

Wie lautet eine konkrete Anwendungsfrage (à la "Wo befindet sich das Schiff?"), und wie wird sie mit Hilfe von Differentialrechnung (Intregralrechnung) beantwortet? Diese Frage ist hier ja schon mehrfach gestellt, aber immer von Mathematikern worden, die sich nicht in das Hirn eines Nichtmathematikers versetzen konnten, so dass ihre Auskünfte für die Frager nutzlos waren. Gibt es Mathematiker, die nicht überaus brilliant sind, dafür aber gute Pädagogen? --Ulrich Waack (Diskussion) 13:01, 2. Jun. 2013 (CEST)

Der mathematische Oberbegriff ist "Analysis" unter den die geläufigen Oberstufenthemen "Differentialrechnung" und "Integralrechnung" fallen - allerdings auch die etwas anspruchsvollere Thematik der "Differentialgleichungen". Während sich mit Hilfe der "Differentialrechnung" Optimierungsaufgaben, z.B. "Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn maximal?", lösen lassen, ist die "Integralrechnung" vorteilhaft, wenn es um die Bestimmung der Fläche unter einem gekrümmten Graphen geht - so läßt sich dann auch das Volumen einer kunstvoll geschwungenen Vase bestimmen. Die Differentialgleichungen werden unumgänglich, wenn man es mit der Berechnung von Schwingungsvorgängen zu tun hat - und so wie es auch im Artikel erwähnt wird, kommt es dabei auf die Bestimmung von Funktionen als Lösungen an, wobei diese unterschiedliche Ableitungen haben. Als Beispiel einer DGL sei die Gleichung y' - y = 0 genannt. Aufgrund von Erfahrung weiß man, dass die Exponentialfunktion $x\mapsto e^{x}$ bei Ableitungen ihren Funktionsterm nicht verändert - somit wäre eine solche Exponentialfunktion Lösung.--Gerhard Kemme (Diskussion) 15:54, 2. Jun. 2013 (CEST)

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Vielleicht hilft es ja, kein Mathematiker zu sein. Ob ich allerdings ein guter Pädagoge wäre ... ?

Allgemein geht es bei Differentialgleichungen um Ausgleichsvorgänge.

z.B. Du füllst eine Konservendose mit Wasser, und machst unten ein Loch rein. Je höher das Wasser in der Konservendose steht, um so höher der Druck am Loch, je höher der Druck am Loch, um so höher die Ausström-Geschwindigkeit. Je schneller das Wasser ausströmt, um so schneller senkt sich der Wasser-Spiegel, damit sinkt auch der Druck, damit die Ausström-Geschwindigkeit, ...

Also überall dort, wo die Veränderung einer Größe direkt oder indirekt gekoppelt ist mit der Größe selbst, wird der Vorgang durch eine Differentialgleichung beschrieben und man kann damit ausrechnen, wie schnell das Wasser aus der Dose strömt, wie sich ein Kondensator lädt oder entlädt, wie eine Welle in einem Gefäß hin und her schwappt, oder wie ein Pendel schwingt, oder eine Masse an einer Feder. In Natur und Technik gibt es eine Menge solcher Vorgänge, bei denen eine Energieform in eine andere umgeformt wird, und in der der Energiefluss von der Energiemenge abhängt, die zur Verfügung steht.

Wenn es nur einen Energiespeicher gibt, ist die Lösung meist eine Exponentialfunktion, wenn es mehrere Energiespeicher gibt, z.B. Kinetische Energie in einer Masse, und Potetielle Energie in einer Feder, dann kommen oft Schwingungen zustande. Wenn dann noch verwirbelte Strömungen ins Spiel kommen, dann kann die Angelegenheit fast beliebig komplex werden. Und dann gibt es noch Bewegungen im 3-dimensionalen Raum, also z.B. die Flug-Physik, bei der eine Menge Veränderlicher ins Spiel kommen, die sich gegenseitig in ihren Veränderungen beeinflussen.

Es gibt noch eine Menge anderer Anwendungen für Differentialgleichungen, aber für mich als Ingenieur, sind das so der Klassiker. Und um nachzuvollziehen, wofür man Differentialgleichungen braucht, sollte das Beispiel ja auch einfach und verständlich sein.

Ich hoffe, dass mir das halbwegs gelungen ist. --MRewald (Diskussion) 16:45, 2. Jun. 2013 (CEST)

Danke, mein Verständnis scheint der Sache etwas näher gekommen zu sein: "Allgemein geht es bei Differentialgleichungen um Ausgleichsvorgänge." Zum Beispiel bei der Berechnung von nicht geometrisch regelhaften Flächen (Vase). Oder bei der Berechnung von sich ändernden Prozessen. Annähernd richtig? Denn Sätze wie "Als Beispiel einer DGL sei die Gleichung y' - y = 0 genannt. Aufgrund von Erfahrung weiß man, dass die Exponentialfunktion $x\mapsto e^{x}$ bei Ableitungen ihren Funktionsterm nicht verändert - somit wäre eine solche Exponentialfunktion Lösung" entziehen sich schlichtweg meinem Verständnis, trotz eines IQs von 130; sorry. Danke und frdl. Grüße --Ulrich Waack (Diskussion) 18:09, 2. Jun. 2013 (CEST)

Gerhard schlägt einen sehr weiten Bogen. Er fängt mit Differentialrechnung an, was zwar Grundlage für Differentialgleichungen ist, aber eben doch nicht ganz das Gleiche.

Dann geht er weiter zu Integralrechnung. In diesen Kontext gehört die Oberfläche der Vase. Alles im Prinzip richtig, aber knapp an Deiner Fragestellung vorbei. Dann kommt er auf Differentialgleichungen, und geht da gleich auf den Spezialfall der Schwingungen ein und lässt die einfacheren Fälle dabei aussen vor.

Angewendet werden Differentialgleichungen immer dann wenn die Veränderung einer Größe von dieser Größe selbst abhängen. Im einfachsten Fall so etwas, wie in meinem Beispiel oben, mit der Konservendose mit dem Loch. In einem komplexeren Fall z.B. in der Berechnung von Strömungen an einem Flugzeug. Da geh's dann aber schon sehr ans Eingemachte.

Ich hoffe ich habe Deine Verwirrung damit nicht noch vergrößert --MRewald (Diskussion) 18:42, 2. Jun. 2013 (CEST)

Danke, nein, hast Du nicht. Ich habe jetzt wenigstens eine vage Vorstellung, die mir als Historiker ausreicht. Als Dankeschön folgenden Witz: Ein hochberühmter Schauspieler tourt im Sommer durch Deutschland, jeden Abend woanders. Also kommt er auf der Bühne frühzeitig ins Stocken. Der Souffleuer fängt an zu murmeln. Der berühmte Schauspieler unterbricht ungehalten: "Keine Details bitte. Welches Stück?" Frdl. Gruß --Ulrich Waack (Diskussion) 21:06, 2. Jun. 2013 (CEST)

Sprachverlinkung fehlt

Der deutschen Version fehlt die Verlinkung z.B. auf die englische Version und alle anderen Sprachen. (nicht signierter Beitrag von 2003:62:4B7E:BD00:3CAE:E69D:3772:CEB3 (Diskussion | Beiträge) 21:22, 21. Feb. 2016 (CET))

Typisch deutsches Vorgehen: Top down

Top down: Mathematisch korrekt, aber unverständlich

Bottom up: So machen es die Amis. Mathematisch zunächst einfach und verständlich.

Der "Löser" einer DGL. sucht eine Funktion.

Thats all....

99% der Wikianer haben Einstein nicht verstanden: "So einfach wie möglich, aber nicht einfacher!"

CAS-Software löst Differentialgleichungen

Warum darf ich nicht schreiben, dass es CAS-Softwares wie [[Maple]], Mathematica, SageMath, Xcas und ExpressionsinBar gibt, die Differentialgleichungen lösen können? (nicht signierter Beitrag von MacApps (Diskussion | Beiträge) 22:19, 25. Apr. 2020 (CEST))

Der Begriff "semilinear" ist (mindestens) bei gewöhnlichen Dgl. völlig nutzlos.

Semilinear bedeuitet, dass man die Dgl in der Form $y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}(x)\,y(x)=b(x,y(x),y'(x),\cdots ,y^{(n-1)}(x))$ schreiben kann. Dan man mit $b$ beliebige Linearitäten in den niedrigeren Ableitungen hinzufügen und entfernen kann, ist "semilinear" äquivalent zu "explizit". --Mathewally (Diskussion) 12:20, 29. Mai 2021 (CEST)

So und warum hat dann semilineare gewöhnliche Dgl. einen eigenen Artikel im Lexikon der Mathematik (Spektrum Verlag) von Walz etal. (Beleg ist im Artikel angegeben) ? Wichtig ist doch wohl auch die Struktur der weiteren Gleichungsteile, die noch die Form einer linearen Dgl. haben, nur auf der rechten Seite tauchen nichtlineare Terme auf.--Claude J (Diskussion) 21:49, 29. Mai 2021 (CEST)

Hallo, Claude J, ich kenne kein anderes Buch oder Artikel, wo semilineare gewöhnliche Dgl. behandelt werden. Es gibt viel über semilineare partielle Dgl.

Schreib doch mal eine explizite gewöhnliche Dgl. hin, die nicht semilinear ist und sich auch nicht dadurch semilinear machen lässt, dass man alle mit niedigeren ableitungen auf die rechte Seite bringt. --Mathewally (Diskussion) 15:08, 3. Jun. 2021 (CEST)

Aber explizite doch wohl und du willst ja darunter subsumieren. ODE sind im Übrigen ja bekanntlich Grenzfälle von PDE für eine Variable. Das Problem mit explizit ist, dass manchmal explizite Form gebraucht wird aber diese nicht explizit im Sinn der Definition hier ist. Man zieht z.B. eine Wurzel.--Claude J (Diskussion) 15:46, 3. Jun. 2021 (CEST)

Was ich meine ist, dass es keine hilfreichen Besonderheiten gibt, die semilineare gewöhnliche Dgl. besitzen. Ich schreiben mal den Autor des Lexikons der Mathematik an und frage, wo er es her hat. Ich bin einigermassen fit in gewöhnlichen Dgl, und dieser Begriff kommt einfach sonst nirgends vor. --Mathewally (Diskussion) 18:41, 3. Jun. 2021 (CEST)

Da müsste auf jeden Fall noch genauer erläutert werden, auch für Nicht-Experten, was explizit ist und was nicht in der Manipulation der Dgl erlaubt ist. Dann kann man ja schreiben dass der engeren Definition entsprechend beides synonym ist und der Begriff semilinear eigentlich aus der Theorie der PDE kommt.--Claude J (Diskussion) 07:03, 4. Jun. 2021 (CEST)