Diskussion:Euklidischer Raum

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Moderne Definition des Euklidischen Raumes

Der Text ist ein wenig wirr. Soll der so stehen bleiben? --NeoUrfahraner 13:01, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich denke diese Strukturierung ist passender. Falls irgendetwas nicht gut formuliert ist, schreib bitte. ps: es war mein erster Versuch 19:00, 1. Apr 2005

Deine Notation ist irgendwie anders als bei Mathematikern üblich. Bist Du Physiker? Außerdem gibt es die Artikel Dualraum, Skalarprodukt und Prähilbertraum, da ergeben sich jedenfalls Überlappungen und Widersprüche. --NeoUrfahraner 19:43, 1. Apr 2005 (CEST)

Diese Notationen finden zwar kaum Anwendungen sind aber bei hoher Mathematik gang und gäbe. Ich nenne nur mal zwei Quellen in denen diese Form explizit verwendet wird und zwar von Mathematikern!!!

Tensoren und Felder von prof. dr.Hans jörg Dirschmid dies findest du in jeder Uni-Bibliothek und Duden Rechnen und Mathematik Dort wird auch auf die alten Formen hingewiesen, die wie auch erwähnt nicht ganz allgemein sind.

Mir ist bewusst das es überlappungen gibt, aber ich war der Meinung das es wichtig ist auch die pinibl genaue Definition zu erwähnen und auf den Unterschied/Fehler in der alten hinzuweisen.

ps: auch bei anderen Räumen spricht man von Skalarprodukten aber nicht von inneren Produkten!!! Und ich bin kein Physiker sondern Schüler. Befasse mich aber seit der 9.Klasse intensiv mit der linearen Algebra und der Relativitätstheorie. (hab bei dem Thema auch meinen ps: guten Lehrer befragt und der war auch der Meinung) 20:05 1. Apr 2005

Nun, Friedman, "Foundations of Modern Analysis" sowie auch Dunford und Schwartz, "Linear Operators" verwenden "Skalarprodukt" und "Inneres Produkt" synonym. Wie dem auch sei, Du verwendest bei der Definition des Skalarprodukts den Dualraum, ohne vorher den Dualraum definiert zu haben. Das ist jedenfalls verwirrend. Außerdem hat der Dualraum (der ja für jeden Vektorraum existiert), wie Du selber schreibst, mit Euklidischem Raum nichts zu tun. Was Du schreiben willst, steht, so weit ich es sehe, weitgehend in Prähilbertraum, wobei zugegebenermaßen die Abgrenzung zwischen den Artikeln Euklidischer Raum und Prähilbertraum derzeit nicht wirklich klar ist.--NeoUrfahraner 20:22, 1. Apr 2005 (CEST)

Ein Dualraum kann direckt über das Skalarprodukt definiert werden, wie ich geschrieben habe. Außerdem sind in den von dir gennanten Bücher die Unterschiede nicht relevant, da sie nicht über Gauß hinausführen. Ein anderes Beispiel: Einem Tensor kontravarianter und kovarianter Stufe existiert auf allgemeinen Räumen und verwenden Skalarprodukte und Dualräume. Genaugenommen ist ja auch in Prähilbertraum ein Fehler. Dort ist ein inneres Produkt definit was aber bei der Allgemeinheit nicht der Fall sein kann, denn der Minkowski-Raum hat kein indefinites inneres Produkt.

Zum Thema Themaverfehlung ich wollte den Unterschied zwischen genauer und ungenauer Definition klar machen und deswegen war das erwähnen eines Skalarproduktes unumgänglich.

ps:ein Prähilbertraum ist eine noch allgemeinere Form des euklidischen Raumes noch allgemeiner ist die Riemannsche Geometrie 21:01 1. Apr. 2005

Du hast ja $V^{*}$ bei der Definition des Skalarprodukts verwendet; Deine Definition ist zirkulär. Steht das wirklich so im Buch von Dirschmid? Was soll heißen, dass Friedman sowie Dunford/Schwartz "nicht über Gauß hinausführen"? --NeoUrfahraner 21:05, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich hab nur das Symbol verwendet ich hätte auch U schreiben können und es später zu V* ersetzen doch dies schien zu umständlich. 21:07 1.apr 2005 In diesen Schriften wäre, wie auch in der euklidischen Theorie der unterschied nicht relevant aber mathematisch nicht ganz genau.21:10 1.Apr 2005

Was steht jetzt *wirklich* im Buch von Dirschmid? --NeoUrfahraner 21:18, 1. Apr 2005 (CEST)

Man geht von der nicht-ausgearteten Bilinearform (Skalarprodukt) auf U und V aus. Durch eine Rechnung findet man die Eindeutigkeit von U und führt für diesen Raum das Symbol V* ein. Damit ist der Dualraum über ein Skalarprodukt definiert.21:25 1.apr 2005

Wenn du hier ernsthaft mitarbeiten möchtest, dann solltest du dir erstmal einen Benutzernamen zulegen. Die Unterschrift mit der Uhrzeit musst du übrigens nicht per Hand eingeben, es reicht dafür ~~~~ einzugeben. Wenn du das als angemeldeter Benutzer machst, dann wird auch automatisch dein Benutzername eingefügt.

Zum Schreibstil: Die Wikipedia ist eine Enzyklopädie. Das bedeutet, dass die Artikel möglichst so allgemeinverständlich wie möglich abgefasst werden sollten, und dass versucht werden sollte, die Notation möglichst einheitlich zu halten.

Konkreter: Lass das \mathsf weg, das wird sonst auch nirgends benutzt. Verlinke zu vorhandenen Beiträgen (mit [[ ... ]]). In diesem Fall fehlt mir z.B. ein Link auf Dualraum. Versuche, den Begriff Dualraum mit der Erklärungsseite konform zu benutzen. Führe nicht mit Gewalt einen neuen Bezeichner für das Skalarprodukt ein, wenn der übliche Bezeichner genauso ausreichen würde.

Inhaltlich: Die Gleichung $V=V^{**}$ zweifle ich an. Die beiden Räume sind bestenfalls isomorph, aber nicht gleich. Der Schreibstil weiter unten entspricht nicht dem üblichen und ist häufig ungenau. Beispielsweise ist nicht $\psi (x)$ indefinit, sondern die Abbildung $\psi$. Es müsste auch irgendwo mal etwas in der Form stehen: "Ein euklidischer Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Abbildung...", um überhaupt einen Bezug zwischen dem Skalarprodukt, von dem du schreibst, und der Definition herzustellen. Überhaupt erscheint mir die Definition nicht ganz koscher, und Motivation bzw. Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Definitionen fehlen auch.--MKI 21:30, 1. Apr 2005 (CEST)

ich will mich nicht anmelden, da ich dies als einen enmaligen Eintrag sehe. Wenn ich \mathsf nicht benutze sieht es nicht einhaltlich aus. Außerdem steht es mir doch frei dies zu benutzen zu was sollte es dann eingegeben sein? Bei dem inhaltlichen gebe ich dir recht, wobei ich einfach nicht genug darauf geachtet habe. Die Einführung dieser Notation ist für viele Räume nicht relevant aber nicht für alle siehe Dirschmid.Zu"Ein euklidischer Raum ist ein Vektorraum zusammen mit einer Abbildung... ich will ja die verschiedenheiten der Definitionen darstellen und bringe sie ja später in Beziehung. Allerdings steht in diesem Buch:V** wird mit V identifiziert. Es wird sogar von der Gleichheit der Basen geredet.217.93.173.93 21:47, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich schiebe noch schnell den Beweis , in der ich die Gleichheit sehe. $\left\langle \alpha ;x\right\rangle :V\times V^{*}\longrightarrow K$ und damit ist $\left\langle x;\alpha \right\rangle _{*}=\left\langle \alpha ;x\right\rangle$ ein Skalarprodukt und V und V** müssen gleich sein.217.93.173.93 22:09, 1. Apr 2005 (CEST)

Mir ist nicht bekannt, wie der Dirschmid den Dualraum einführt. Allgemein üblich ist es aber, dass $V^{*}$ die Menge der Linearformen eines Vektorraums $V$ bezeichnet, und dann ist $V$ und $V^{**}$ nicht dasselbe.--MKI 22:20, 1. Apr 2005 (CEST)

Ich würde gerne wissen was ich jetzt machen soll (Andere Definition vom Skalarprodukt). Der Beweis oben geht über die Linearform denn in Dirschmid steht: $\left\langle \alpha ;x\right\rangle =\alpha (x)$ wenn alpha fest ist. 217.93.173.93 22:35, 1. Apr 2005 (CEST)

Erstmal eine sprachliche Anmerkung: Wenn der Dirschmid schreibt V** wird mit V identifiziert, dann spricht das dafür, dass die beiden Räume zunächst einmal nicht gleich sind, denn sonst müsste man auch nichts extra miteinander identifizieren. Die angedeutete Identifikation läuft über den Isomorphismus, der existiert, da die beiden Räume in unserem Fall isomorph sind.

Der K-Vektorraum V ist eine Menge von Vektoren. V* wird aus V gebildet, indem man die Menge aller linearen Abbildungen V->K bildet (dein letzter Beitrag sieht so aus, als ob das auch beim Dirschmid so gemacht wird.). Also wird V** aus V* gebildet, indem man die Menge aller linearen Abbildungen V*->K bildet, also die Menge aller linearen Abbildungen, die eine lineare Abbildung V->K auf ein Element von K abbilden. Das heißt, dass V und V** verschiedene Mengen sind (die eine enthält Vektoren aus V, die andere lineare Abbildungen, die eine lineare Abbildung V->K auf ein Element von K abbilden). Damit können V und V** nicht gleich sein.

Wenn noch Diskussionsbedarf besteht, dann schreib bitte zuerst die Definition des Dualraums her, die du verwendest, damit eine gemeinsame Diskussionsgrundlage gegeben ist.--MKI 23:11, 1. Apr 2005 (CEST)

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Ich habe die "moderne" Definition mal durch einen Verweis auf den Prähilbertraum ersetzt. Dieser Artikel soll die allgemeine Definition des Begriffs vorstellen und dann das algebraische Modell Rⁿ, das meist und nicht ohne Grund als Synonym betrachtet wird, diskutieren. Wenn überhaupt sollte die axiomatische Beschreibung, die in Euklidische Geometrie erwähnt ist, hier noch etwas ausführlicher erläutert werden. Allgemeine euklidische Vektorräume werden dagegen sinnvollerweise im Rahmen des allgemeinen Skalarproduktraum-Artikels besprochen, alles andere führt zu unnötiger Redundanz. Gruß --mmr 00:38, 2. Apr 2005 (CEST)

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Ich wollte auf eine Definition hinweisen, die in keinem existierenden Artikel verwendet wird, denen aber mehrere Personen aus meinem Bekanntenkreis als allgemeiner und besser verstehen. Aber wenn kein Bedarf einer solchen Definition in Wikipedia sein sollte, dann gut. Meiner Meinung nach führt dies nur zu einer Bereicherung, auch wenn in den meisten Fällen die alten ausreichend sind. Allerdings verweise ich auch hier auf Dirschmid der auch der Auffassung einer algemeineren Version ist.

Zu den Definitionen des Dualraumes: Was ist deiner Meinung nach für eine Gleichheit explizit nötig? Die Definition erfolgt über das Skalarprodukt, wie ich in meinem Artikel beschrieben habe. Dort stellt sich für ein beliebiges Skalarprodukt immer der gleiche Vektorraum ein. Dieser wird dann als dualer Vektorraum bezeichnet.217.227.177.250 06:54, 2. Apr 2005 (CEST)

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Mich wundert, wie eine zirkuläre Defintion, bei der das zu Definierende in der Definition vorausgesetzt wird, "allgemeiner und besser verständlich" sein soll. Vermutlich meinst Du mit "Skalarprodukt" das, was in Kowalsky, Lineare Algebra als "duales Raumpaar" bezeichnet wird:

Sei $\beta$ eine Bilinearform des Raumpaares $\left(X,Y\right)$, die außerdem noch folgende Eigenschaften hat:

Aus $\beta (a,y)=0$ für alle $y\in Y$ folgt $a=0$.

Aus $\beta (x,b)=0$ für alle $x\in X$ folgt $b=0$.

Dann heißt $\left(X,Y;\beta \right)$ ein duales Raumpaar. Kowalsky bezeichnet dann weiter $\beta$ als das die Dualität bestimmende skalare Produkt. Er zeigt dann weiter, dass, wenn einer der beiden Vektorräume endlichdimensional ist, beide Vektorräume isomorph sind und somit gleiche Dimension haben. Den Dualraum definiert Kowalsky als Vektorraum aller linearen Abbildungen; $\left(V,V^{*}\right)$ bilden dann ein duales Raumpaar uns sind daher im endlichdimensionalen Fall isomorph; bis auf Isomorphie ist dann tatsächlich $\left(V,V^{*}\right)$ das einzige duale Raumpaar. Im unendlichdimensionalen Fall kann der Bidualraum $V^{**}$ aber wesentlich "größer" als $V$ sein. Ist das das, was Du uns sagen willst? --NeoUrfahraner 08:44, 2. Apr 2005 (CEST)

Man könnte das entsprechende Vokabular mal aus dem Glossar nach Bilinearform kopieren, das ist der richtige Ort. Ich mach das mal.--Gunther 09:56, 2. Apr 2005 (CEST)

Nein das meine ich nicht und die Definition ist nicht zirkulär wie ich schon weiter oben geschrieben habe. Die Quellen dieser Definition steht auch schon da!!!! Es ist nur die Symbolik verwendet worden. Man kann einen beliebigen Raum vorraussetzen dies führt der Author von Tensoren und Felder wieder auf einen Vektorraum zurück. Um die Leser nicht zu verwirren hab ich die Symbolik von Anfang an verwendet. ps: euklidische Räume sind automatisch endlich sonst wären sie Hilberträume.217.227.184.59 17:05, 2. Apr 2005 (CEST)

Du meinst endlichdimensional. Endlich sind euklidische Räume nicht.--MKI 17:38, 2. Apr 2005 (CEST)

Ich bin Deine Änderungen durchgegangen. Hier, was mir dazu eingefallen ist (inklusive aller Kleinigkeiten):

• Die Notation mit dem Strichpunkt habe ich noch nirgendwo vorher gesehen.
• Den Dualraum über eine nichtausgeartete Paarung einzuführen ist unüblich, zumal er ja dann von der Paarung abhängt.
• Im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume sind nicht alle Dualräume eines Vektorraums isomorph (Beispiel: ist $H$ ein Hilbertraum und $H_{0}\subsetneq H$ ein dichter Teilraum, dann ist die Einschränkung des Skalarproduktes auf $H\times H_{0}$ nicht ausgeartet).
• Die Formel $V^{**}=V$ ist interpretationsbedürftig, wenn man den Dualraum definiert als "irgendein Raum, zu dem es eine nichtausgeartete Paarung mit dem Vektorraum gibt". Natürlich: wenn es eine Paarung zwischen $V$ und $V^{*}$ gibt, dann auch zwischen $V^{*}$ und $V$.
• Das Attribut "positiv definit" kann nicht auf derart definierte Skalarprodukte angewandt werden. Dies ist aber üblich (wenn es nicht sogar Teil der Definition eines Skalarproduktes ist).
• Die Formulierung "echt euklidisch" (bzw. deklinierte Formen davon) haben keine Google-Hits.
• In der Definition des Index fehlt die Voraussetzung, dass die Basis orthogonal sein muss. (Beispiel: Es sei $V=\mathbb {R} ^{2}$,

$(x;y):=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}.$

Wir wählen die Basis $\{b_{1}=(1,0),b_{2}=(n,1)\}$ mit $n\in \mathbb {R}$ variabel. Es ist

$\psi (b_{1})=1,\quad \psi (b_{2})=n^{2}-1$

Je nachdem, ob $|n|$ größer oder kleiner als 1 ist, sind beide oder nur einer der Psi-Werte positiv.)

• Norm und Winkel gehören nicht zur Struktur eines metrischen Raumes. Auch in normierten Räumen, die nicht von inneren Produkten herkommen, kann man m.W. keine Winkel definieren.
• Im Beispiel $\mathbb {C}$ verrätst Du das innere Produkt nicht.

Mir scheint, der Autor kümmert sich wenig um die allgemein übliche Verwendung von Begriffen. Laut Zentralblatt-Review wendet sich das Buch auch eher an Nichtmathematiker. Wenn Du Zugang zu einer Bibliothek hast, möchtest Du vielleicht zum Vergleich auch mal einen Blick in das Buch von Jänich werfen. --Gunther 21:51, 2. Apr 2005 (CEST)

Orientierung eines Euklidischen Raumes

Wie sieht es mit der Orientierung eines Euklidischen Raumes aus? Die ist hier noch gar nicht erwähnt, wird aber im Artikel zu Determinante mit einem Link nach hier erwähnt.

Endlich erledigt. --Digamma 22:38, 28. Feb. 2012 (CET)

Grafiken?

Hallo, ich kann mir das mit den euklidischen Räumen nicht vorstellen, kann man das nicht irgendwie visualisieren?

Affiner Raum oder Vektorraum

Man kann natürlich den Begriff "Euklidischer Raum" als Kurzform für "Euklidischer Vektorraum" nehmen.

Man kann auch durch die (willkürliche) Wahl von Koordinaten jeden n-dimensionalen (synthetische) Euklidischen Raum mit dem $\mathbb {R} ^{n}$ identifizieren.

Wenn man aber keine Willkür einführen will bei der Modellierung mithilfe von linearer Algebra, dann wird man auch nicht willkürlich einen Nullpunkt einführen. Man modelliert den Euklidischen Raum deshalb nicht durch einen Vektorraum, sondern durch einen affinen Raum (im Sinne der linearen Algebra), wobei der zugehörige Vektorraum ein euklidischer Vektorraum ist (d.h. mit einem Skalarprodukt versehen. Um den Unterschied zum Vektorraum explizit zu machen spricht man dann (statt von einem euklidschen affinen Raum) vom Euklidischen Punktraum. --Digamma 22:14, 19. Feb. 2007 (CET)

Mathematischer Begriff oder physikalischer Begriff

In dem Artikel wird euklidischer Raum als ein mathematischer Begriff definiert:

Der mathematische Begriff euklidischer Raum (nach Euklid von Alexandria) bezeichnet einen reellen Vektorraum mit einem Skalarprodukt, so dass man Längen und Winkel messen kann. In der Regel wird er für endlichdimensionale Räume, insbesondere für die Räume $\mathbb {R} ^{n}$mit dem Standardskalarprodukt verwendet. Der Spezialfall $\mathbb {R} ^{2}$ wird auch euklidische Ebene genannt.

Der Begriff Euklidischer Raum wurde jedoch meines Wissens erst durch die Allgemeine Relativitätstheorie – eine naturwissenschaftliche Theorie (theoretische Physik) – von Einstein eingeführt. Euklid von Alexandria und seine Zeitgenossen hatten diesen Begriff sicher nicht benutzt und auch keine mathematische Definition getroffen, die der oben genannten Beschreibung entspricht. Wenn ich mich nicht täusche, spielte sich die Geometrie Euklids ausschließlich in der Ebene (n = 2) oder im "Raum" (n = 3), also in maximal drei Dimensionen ab. Die Begriffe Vektor, reelle Zahlen und Skalarprodukt sind in der Mathematik erst sehr viel später eingeführt worden.

Welche Bedeutung der Euklidische Raum in der Naturwissenschaft oder Physik hat wird hier nicht deutlich. Vor Einstein wurde schlicht der Begriff Raum benutzt. Es ist völlig unklar wie sich der Euklidische Raum von dem Einsteinschen Raum der ART unterscheidet. 84.59.141.37 11:55, 22. Jun. 2007 (CEST)

Das "nach Euklid von Alexandria" bedeutet nicht, dass man hier der Begriffsbildung Euklids folgt (also dass dies ein Begriff wäre, den Euklid geprägt hat), sondern dass man den Begriff in Ahnlehnung an den Namen Euklids gebildet hat. --Digamma 20:01, 26. Okt. 2007 (CEST)

Steht im Artikel irgendwo, dass Euklid von Alexandria und seine Zeitgenossen diesen Begriff benutzt hätten? Ansonsten: Wie der Artikel sagt, geht es um den mathematischen Begriff. Wenn Du aber eine Quelle hast, wer den Begriff erstmals verwendet hat, und welche Bedeutung der Begriff in der Physik hat, kann man das unter Umständen einbauen, sofern es in den Rahmen des Artikel passt. --NeoUrfahraner 13:24, 22. Jun. 2007 (CEST)

Nein, ich komme letzlich auch zu dem Schluss, dass der Begriff nur mathematisch, wie hier geschehen, als reeller Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$, einigermaßen klar abgegrenzt werden kann. Die Bedeutung dieses Begriffs in der Physik und speziell in der Relativitätstheorie ist letzlich völlig undefiniert. 84.59.53.11 11:25, 13. Jul. 2007 (CEST)

Definition

Hallo erstmal. Also meines Erachtens handelt es sich bei Euklidischen Räumen um endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Vektorräume mit Skalarprodukt. Diese doch einfache Definition lässt sich aber nicht in dem Artikel finden. Es wäre schön, wenn dies behoben würde. Zudem würde ich noch eine Abgrenzung zu Hilberträumen (vollständige $\mathbb {K}$-Vektorräume mit Skalarprodukt) und Prähilberträumen($\mathbb {K}$-Vektorräume mit Skalarprodukt) und einen Verweis auf unitäre Räume (endlichdimensionale $\mathbb {C}$-Vektorräume mit Skalarprodukt) beifügen.

ps.: Nur meine Vorstellung, was haltet ihr davon?

lg --Manu MM 13:38, 11. Jul. 2007 (CEST)

Euklidische Räume sind Punkträume, keine Vektorräume

Meines Erachtens bezeichnet der Begriff "Euklidische Raum" als Kurzbegriff den Euklidischen Punktraum, also einen affinen Raum, dessen zugrundeliegender Vektorraum ein euklidischer Vektorraum ist. Den Euklidischen Raum als Vektorraum zu definieren (oder gar als $R^{3}$ bzw. $R^{n}$) ist geometrisch nicht sinnvoll, da es vom geometrischen Standpunkt aus keinen ausgezeichneten Ursprung gibt.

Im Sinne des Kleinschen Programms ausgedrückt: Zum Euklidischen Raum gehört die (euklidische) Bewegungsgruppe, nicht die Gruppe der orthogonalen Abbildungen. Nur so bekommt man eine natürliche Korrespondenz zur axiomatisch fundierten euklidischen Geometrie.

Auch die Verbindung zur Physik klappt hier besser. Auch der physikalische Raum besitzt keinen Ursprung. Die natürliche Modellierung des Raums in der vorrelativistischen Physik ist der euklidische Punktraum, nicht der euklidische Vektorraum. (Es sei denn, man betreibt vorkopernikanische Physik :-) ) --Digamma 19:43, 26. Okt. 2007 (CEST)

Das steht nun hier seit mehr als 10 Jahren, ist vollkommen richtig, und hat doch, wenn ich den Artikel anschaue, zu wenig Effekt gehabt. Ich weiß nicht, wer als Erster einen Raum euklidisch genannt hat. Aber Punkträume sind sicherlich, unter diesem oder jenem Namen deutlich älter als Vektorräume. und unter den Punkträumen sticht jedenfalls der hervor, der den Raum der Anschauung am direktesten mathematisch abbildet. Das ist der dreidimensionale Punktraum mit der euklidischen Metrik (die sich auf den Satz von Pythagoras beruft, der aus der Antike hauptsächlich durch Euklids Lehrbuch vermittelt wurde). Historisch wichtig war auch die zweidimensionale Variante, die Ebene. Als dann das Bemühen um Euklids Parallelenaxiom zur Entdeckung der Hyperbolischen Ebene führte, wurde klar, dass es nicht einfach den Raum, sondern unterschiedliche Räume gibt. Zur Unterscheidung des alten, das Parallelenaxiom erfüllenden von den neu entdeckten Räumen, in denen es nicht gilt, liegen die Bezeichnungen euklidisch und nichteuklidisch außerordentlich nahe. Nochmals: Das bezieht sich alles auf Punkträume. Die Menge der Themen, um die man sich kümmerte, war die Geometrie. Der Vektor war sicherlich zunächst auch ein geometrisches Objekt, das nur langsam in die Algebra abdriftete. Vektorräume zu definieren, wurde doch erst sinnvoll, als man merkte, dass es davon verschiedene gab. Diejenigen, die die Verwendung der gleichen Koordinatensysteme erlauben wie die euklidischen (Punkt-)Räume, wurden naturgemäß euklidische Vektorräume genannt. Sie einfach als euklidische Räume zu bezeichnen, ist sicher sinnvoll in Bereichen, wo sowieso jeder Raum ein Vektorraum ist. Ansonsten halte ich das für eine Schlamperei, für die man natürlich, wie für andere Schlampereien auch, Zitate angeben kann. Tatsächlich sind euklidische Räume und euklidische Vektorräume so verschiedene Strukturen, dass sie eigentlich gar nicht in einen gemeinsamen Artikel gehören. Gemeinsam sind ihnen die Koodinatensysteme aus reellen n-Tupeln und die euklidiche Metrik. Sonst fällt mir da nichts ein. Bei euklidischen (Punkt)-Räumen geht es um die Beziehungen zwischen Punkten, Graden, Ebenen, Längen und Winkeln usw. mit Stichworten wie parallel und orthogonal, dazu die Isomorphismen: Drehungen, Spiegelungen und Parallelverschiebungen; alles das eben Geometrie.

Vektorräume dagegen, ob euklidisch oder nicht, sind in erster Linie additive Gruppen die einem Körper zugeordnet sind, und neben der Gruppenverknüpfung Addition noch eine ‚Multiplikation mit einem Skalar‘ haben. Die vorherrschende Operation ist dort das Linearkombinieren. All das ist Algebra, nicht Geometrie.-- Binse (Diskussion) 17:20, 27. Dez. 2017 (CET)

Ein bisschen mehr dazu: Wenn man mal den Unterschied von e.-ischem Raum (=Punktraum!) und e.-ischem Vektorraum akzeptiert hat, findet man auch Beziehungen zwischen beiden. Was man sprachlich ausdrückt als einen Vektor v von einem Punkt p abtragen, kann man als eine (äußere) Verknüpfung eines Punktes mit einem Vektor auffassen und p+v schreiben, was also wieder ein Punkt ist; und für ein Paar p und q von Punkten gibt es einen und nur einen Vektor in V, so dass q=p+v ist. Etwas abstrakter gesagt gehört zu jedem Elements v aus einem e.-dischen Vektorraum V gleicher Dimension wie der betrachtete e.-dische Punktraum P eine (bijektive) Abbildung v: P→P, und diese Abbildung ist eine Parallelverschiebung von P. Damit wird V eine Gruppe von Isomorphismen von P; allerdings nicht die Gruppe von allen diesen Isomorphismen. Die umfasst ja noch die Drehungen und die Spiegelungen. Wenn man mit den Punkträumen anfängt und eine grobe Idee von Vektoren hat, wird man erwarten, dass da ein paar Axiome gelten: Für jeden Punkt p und jedes Paar u und v von Vektoren erwartet man doch (p+u)+v = p+(u+v) und (p+u)+v = (p+v)+u. Ich meine mich zu erinnern, dass eben diese Forderungen erlauben, zu zeigen, dass ein euklidischer Vektorraum eine kommutative Gruppe ist.

Was man auch nicht einfach vermengen darf: Im Punktraum gibt es eine Metrik, das ist anschaulich der Abstand von zwei Punkten, und damit eine Funktion eines Punktepaares, im Vektorraum hat man eine Norm, anschaulich die Länge eines Vektors. Zwei ganz verschieden Dinge! Sie stehen allerdings in einer engen Beziehung: Der Abstand des Punktes p vom Punkt p+v ist gleich der Norm des Vektors v.

Ganz kurz nochmal gesagt: Punkte sind der ursprüngliche, Vektoren der abgeleitete Begriff. Es wäre wirklich schön, wenn mal jemand den Artikel in diesem Sinne überarbeiten könnte: Kapitel 1: Euklidische (Punkt)-Räume, Kapitel 2: Euklidische Vektorräume.-- Binse (Diskussion) 02:26, 28. Dez. 2017 (CET)

Hallo Binse,

bevor du etwas schreibst wie

"Das steht nun hier seit mehr als 10 Jahren, ist vollkommen richtig, und hat doch, wenn ich den Artikel anschaue, zu wenig Effekt gehabt"

solltest du besser erst einmal den derzeitigen Artikel mit dem von damals vergleichen. Als ich meinen obigen Beitrag geschrieben habe, war dies der Zustand des Artikels. Ich habe ihn im Folgenden praktisch komplett neu geschrieben, und zwar m.E. genau im Sinn deiner Ausführungen. Allerdings halte ich deinen Vorschlag nicht für praktikabel:

Wenn man Punkträume als affine Räume über einem Vektorraum einführt, wie es die mir bekannte Literatur tut, dann muss man zuerst euklidische Vektorräume einführen, bevor man euklidische Punkträume einführen kann. Ich halte deshalb deinen Vorschlag nicht für praktikabel. --Digamma (Diskussion) 20:24, 28. Dez. 2017 (CET)

Ergänzung: Der Artikel beginnt ja (nach der Einleitung) mit dem Abschnitt "Euklidischer Vektorraum", der wiederum damit beginnt, wie aus dem 3-dimensionalen euklidischen Anschauungsraum der zugehörige euklidische Vektorraum als Menge der Verschiebungen oder als Menge von Pfeilklassen konstruiert wird. Offen bleibt, was dieser Anschauungsraum ist. Ich fände es gut, wenn davor ein Abschnitt stünde, der erklärt, was dieser Anschauungsraum ist. Nur weiß ich nicht so recht, was da stehen sollte. Im Schulunterricht wird der Anschauungsraum nur anschaulich behandelt, Wesentliches bleibt offen. Man könnte die Axiomatisierung von Hilbert benutzen, aber die hat schon einen eigenen Artikel (auf den in der Einleitung verwiesen wird) und ist als Einstieg, für jemanden, der sich auf Schulniveau bewegt, zu kompliziert. Möglicherweise könnte man auf die Axiome Euklids zurückgehen. Möglich wäre auch ein historischer Abriss. Zu allem fehlt mir die Literatur und zumindest teilweise der fachliche Überblick. Binse, was meinst du dazu? --Digamma (Diskussion) 20:42, 30. Dez. 2017 (CET)

Verständlichkeit

Hehehe! Der Artikel ist klasse - liebe Leute, was denkt Ihr, wer Eure Zielgruppe ist, hm? --193.196.8.102 15:23, 9. Nov. 2007 (CET)

Ich finde den Artikel zu wenig verständlich. Zum Beispiel habe ich in einem Forum über Koordinatensysteme geschrieben. Zurück kam die Frage "sind es euklidische Räume?". Nach dem ersten Lesen des Artikels kann ich die Frage immer noch nicht beantworten. Obwohl ich Dipl. Ing (FH) in einem technischen Bereich bin ist das mir zu hoch Freimatz (Diskussion) 15:21, 14. Mär. 2017 (CET)

Mir ist sehr daran gelegen, dass der Artikel verständlich geschrieben ist. Deshalb an dich die Frage: Was genau ist nicht verständlich? Als Mathematiker ist man ja manchmal etwas betriebsblind und empfindet manche Sachen als offensichtlich, die für andere schwer verständlich sind. Was genau war die Frage, auf die du eine Antwort gesucht und nicht gefunden hast? --Digamma (Diskussion) 20:47, 14. Mär. 2017 (CET)

Version vom 06.06.2010

Hallo, zwei kleine Fragen habe ich nach dem Durchlesen des Artikels.

• Was wird in dem Artikel unter der euklidischen Norm verstanden? Ich schätze wie im letzten Abschnitt angegeben die Funktion $|x|={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}$, jedoch wird im Abschnitt Euklidischer Vektorraum#Allgemeiner Begriff auch dieser Begriff genannt und sonst wird dort nur von einem allgemeinen Skalarprodukt gesprochen. Dies irritiert mich ein wenig.
• Was ist die Abbildung f im Abschnitt Euklidischer_Raum#Abbildungen?

Danke schön für diese gelungene Überarbeitung. --Christian1985 22:36, 6. Jun. 2010 (CEST)

Die euklidische Norm des Vektors ${\vec {a}}$ in einem euklidischen Vektorraum, dh einem VR mit Skalarprodukt ist ${\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}$. Sobald man ein Skalarprodukt hat, hat man die zugehörige euklidische Norm. Im Spezialfall des $\mathbb {R} ^{n}$ ist das dann gerade $|x|={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}$.

Beantwortet das die Frage?

Das f ist irgendwie verloren gegangen. Danke. -- Digamma 23:22, 6. Jun. 2010 (CEST)

Ja das beantwortet meine Frage fast. Also wiederhole nochmal, eine euklidische Norm ist eine Norm, welche durch ein (beliebiges) Skalarprodukt induziert wird?!? Dann ist der Artikel Euklidische Norm extrem unvollständig und nicht sehr hilfreich. Deine Definition habe ich auch im Lexikon der Mathematik gefunden. Falls es hier nicht doch noch ein Missverständnis gab, werde ich den Artikel Euklidische Norm noch schnell umschreiben und hier verlinken. --Christian1985 13:25, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ja, das ist richtig. Interessant ist die Unterscheidung "euklidische Norm" zu anderen Normen natürlich vor allem im Unterschied zu p-Normen, und da betrachtet man meist den $R^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt. Aber grundsätzlich geht jedes Skalarprodukt. Das ist im Prinzip auch klar, weil je zwei euklidische Vektorräume gleicher Dimension isometrisch isomorph sind. Schau auch mal in Parallelogrammgleichung. Da steht im letzten Absatz im Wesentlichen: Eine Norm ist genau dann euklidisch (kommt also von einem Skalarprodukt), wenn die Parallelogrammgleichung gilt. Das könnte man sicher in den Artikel Euklidische Norm noch einbauen. -- Digamma 15:01, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe nun schon ein paar mal gelesen, dass euklidische Vektorräume nicht zwangsläufig endlichdimensional sein müssen. Wie ist das? Wo ist dann noch der Unterschied zum Prähilbertraum? Der Grundkörper muss der der reellen Zahlen sein? Leider habe ich keine zitierbaren Quellen zu dem Thema. --Christian1985 18:07, 7. Jun. 2010 (CEST)

Meines Wissens spricht man nur im Endlichdimensionalen von einem euklidischen Vektorraum. Das komplexe Pendant ist unitärer Vektorraum. Prähilbertraum ist der Oberbegriff und gilt sowohl für endlich- als auch für unendlichdimensionale Räume, meist aber für unendlichdimensionale. Es kann aber durchaus sein, dass die Begriffe nicht einheitlich benutzt werden, siehe Prähilbertraum -- Digamma 18:22, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ich sehe zwei Möglichkeiten:

1. Wir definieren euklidische VRe als endlich-dimensional und verweisen darauf, dass manche Autoren auch unendlich-dimensionale VRe zulassen.
2. Wir lassen die Einschränkung (beliebiger endlicher Dimension n) bei der Definition weg und nennen sie dort, wo sie notwendig ist, z.B. bei der Existenz von Orthonormalbasen.

Ich tendiere zu Version eins, da für mich hier die geometrischen Aspekte und die Zusammenhänge zum Anschauungsraum der synthetischen euklidischen Geometrie, zum euklidischen Punktraum und zum Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ im Vordergrund stehen. Für viele Anwender ist "euklidischer Raum" synonym zu $\mathbb {R} ^{n}$ (so stand es, wenn ich mich nicht irre, auch in früheren Versionen dieses Artikels). Der Fall beliebiger Dimension wird im Artikel Prähilbertraum, der sich auf den Vektorraum und eher die algebraische und analytische Seite konzentriert, mit behandelt.

Ich denke auch, dass man es hier nicht übertreiben sollte und nur kurz anmerken sollte, dass manche Autoren auch unendliche VR als euklidisch bezeichnen. --Christian1985 18:43, 7. Jun. 2010 (CEST)

Nachtrag: Der englische Artikel en:inner product space schreibt: Inner product spaces generalize Euclidean spaces (in which the inner product is the dot product, also known as the scalar product) to vector spaces of any (possibly infinite) dimension, and are studied in functional analysis. Für den Autor sind euklidische Räume also endlich-dimensional. Nun gibt es leider im Deutschen keinen Begriff, der dem inner product space entspricht. -- Digamma 18:48, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ja das spricht auch wieder für die endlichdimensional. Aber dass es keinen deutschen Begriff zu inner product spaces gibt, verstehe ich nicht. Es gibt doch hier in der wikipedia die Weiterleitung Innenproduktraum. Angeblich ist dieser Begriff in der Physik etabliert. --Christian1985 19:03, 7. Jun. 2010 (CEST)

Wenn man die Diskussion unter Prähilbertraum liest, bekommt man eher den Eindruck, als sei der Begriff umstritten. Aber das ist ja auch für diesen Artikel eher egal. Ich habe mal einen Hinweis eingefügt. -- Digamma 20:16, 7. Jun. 2010 (CEST)

Satz grammatikalisch evtl. nicht korrekt

"Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann und demzufolge die Abbildungen auszeichnet, die Längen und Winkel erhalten."

Hallo,

ich habe den Eindruck, dass der oben zitierte Satz nicht ganz korrekt ist und somit das Verständnis stark erschwert wird.

Dieser Teil ist logisch:

Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann

Ab hier wird es für mich fehlerhaft:

.. und demzufolge die Abbildungen auszeichnet, die Längen und Winkel erhalten.

Der Nebensatz beinhaltet: ... dass man ... messen kann.

Ist der Nebensatz dann zu Ende? Falls ja, müsste ein Komma ergänzt werden. Falls nein, passte das "auszeichnet" nicht zum Nebensatz.

Im Prinzip ist "und demzufolge die Abbildungen auszeichnet" ohne Bezug.

Es wäre nett, wenn Ihr das mal durchdenken und vereinfachen könntet.

Karl-Heinz

--Karl-heinzk 2013 (Diskussion) 09:22, 8. Okt. 2013 (CEST)

Ich denke, es ist so gemeint, dass der Nebensatz weitergeht. Gemeinsames Subjekt ist "man". Als Hauptsatz formuliert:

"Man kann Längen und Winkel messen und (man) zeichnet demzufolge Abbildungen aus, die Längen und Winkel erhalten."

Ist das verständlich? --Digamma (Diskussion) 16:38, 8. Okt. 2013 (CEST)

Euklidische Vektorräume -> Isometrie

Muss die lineare Abbildung nicht von V (und nicht auf V) abbilden, wenn - wie angegeben, der Erhalt des Skalarprodukts für Vektoren aus V gilt? D. h. die Funktion müsste V auf W abbilden, nicht U auf V. Dann wäre die Angabe auch stimmig mit den nachfolgenden Angaben über die Orthonormalbasis. Vgl. auch Eintrag "Isometrie" im Unterkapitel "Vektorräume mit Skalarprodukt". (Meine Änderung wurde automatisch rückgängig gemacht.) (nicht signierter Beitrag von 77.8.11.198 (Diskussion) 22:09, 19. Jan. 2019 (CET))

Du hast recht. Ich habe deine Änderung wiederhergestellt. Sie war nicht automatisch rückgängig gemacht worden, sondern von einem wohlmeinenden Mitautor, der sie für Vandalismus hielt. Damit so etwas nicht passiert, solltest du immer eine Begründung in der Zusammenfassungszeile angeben. --Digamma (Diskussion) 10:57, 20. Jan. 2019 (CET)

Pseudoeuklidische Räume

Gibt es den Begriff? Ich kenne nur pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Bei Vektor- bzw. affinen Räumen kenne ich nur Minkowski-Raum. --Digamma (Diskussion) 14:00, 7. Jun. 2022 (CEST)

Diese Nachfrage richtet sich an Benutzer:Ernsts. --Digamma (Diskussion) 09:31, 8. Jun. 2022 (CEST)

Hallo Digamma! Du hast Recht, da gehört eine Referenz rein. Habe ich gerade gemacht, in der en WP gibt es einen ganzen Artikel dazu, davon habe ich die Hauptreferenz mal übernommen: en:Pseudo-Euclidean_space#cite note-1.

Ich würde ja gerne den ganzen dortigen Artikel übersetzen, leider fehlt mit die momentan Zeit, da ich gerade an 2 Artikeln zur Kausalstruktur und Kausalmengen arbeite und diesen und etliche andere Begriffe dort brauche und daher auf die Schnelle u. a, hier eingebaut habe. Vielen Dank für die Nachfrage! --Ernsts (Diskussion) 10:23, 8. Jun. 2022 (CEST)

Danke. Eine kurze Nachfrage: Fordert man nicht, dass das Skalarprodukt nicht-ausgeartet ist? Sollte man das hier nicht ergänzen? --Digamma (Diskussion) 10:44, 8. Jun. 2022 (CEST)