Diskussion:Gaußscher Integralsatz

Das Beispiel mit den Wildschweinen ist köstlich !!

Dann will ich mal noch sagen woher es kommt: Ein Assistent des Professors meiner damaligen Experimentalphysik-Vorlesung („Der Herr Schneider hat da schon mal was aufgebaut.“) hat es ersonnen: so bleiben auch mathematische Sätze hängen, sogar bei Ingenieuren! ;-) --Jamuehli 19:12, 5. Mär 2006 (CET)

Ich finde, man sollte diesen genialen Assistenten ruhig durch Namensnennung ehren. :-) --Nü 11:45, 6. Apr 2006 (CEST)

Und was ist, wenn sich die Wildschweine im Wäldchen vermehren, bzw. sterben/gegenseitig aufessen? Haben wir es dann mit Quellen und Senken zu tun? --Abdull 17:47, 29. Jul 2006 (CEST)

Zitat: "wir haben hier Wildschweinquellfreiheit im Unterraum „Wäldchen“ vorausgesetzt". Vermehrt und gestorben wird also wo anders, nicht im Wäldchen ;-) .

Genau, einfach klasse! :o)

Ich kann den anderen nur zustimmen. Ich versuche für mich immer, bei fast allen physikalischen Phänomenen mir das irgendwie anschaulich klar zu machen. Das hier ist eine hervorragende Veranschaulichung! Ich musste laut lachen beim Lesen. :) Und um auf die eine Frage einzugehen, die sich auf Quellen & Senken bezieht. Ja, würde in der einen Ecke des Wäldchens kontiuierlich 1 Schwein pro Tag geboren werden, wäre hier eine (Schweine-) Quelle. Würde in einer anderen Ecke eine Sau pro Tag verrecken wäre hier eine Senke. div(Geburtsecke) > 0 und div(SterbeEcke) < 0 die genauen Beträge wären nu wohl ein wenig unseriös... In der Summe wäre das Volumenintegral über Senke & Quelle insgesamt also = 0. (Vorraus gesetzt es rennen da nu nich noch mehr schweine in die geb Ecke rein... :) ) Das Volumenintegral über das gesamte Wäldchen wäre also immer noch gleich dem Flächen Integral über den Rand des Wäldchens.

Wäre das Wäldchen eine reine Brutstätte, sprich würde es nur aus Quellen bestehen, (idylischer Wald, ohne Jäger, mit viel Sonne) so wäre das Volumenintegral über die Quellen des gesamten Wäldchens > 0. Da die ja nicht alle nur in dem Wald bleiben (wäre zu voll auf die Dauer) rennen durchgehend so viele Schweine wie auch durchschnittlich geboren werden, aus dem Wäldchen hinaus. Die Schweine rennen also in Richtung des normalen Vektors über die Waldgrenze hinaus. In gleicher Richtung = pos Beitrag. Somit wird das Integral über die Randfläche den selben Wert an Schweinen (z.B. pro Tag) annehmen, wie das Volumenintegral (die Summe) über die Quellen. :)

Genau so beim Schlachter. :) Hier ist ne Senke. Der Zaun um den Schlachthof als begrenzende Fläche gedacht, der normalen Vektor zeigt nach aussen, es werden nur Schweine hinein gebracht, also entgegengesetzte Richtung also negativer Beitrag. z.B. 10 Schweine pro Tag ==>> Integral über Fläche = -10 Schaut man sich nun die divergenz aller Stellen innerhalb des Zaunes an, und summiert über diese, stellt man fest das innerhalb des Volumens 10 Schweine pro Tag vernichtet werden. Volumenintegral = -10 (Unter der Vorraussetzung, dass der Schlachter alles selber isst... ;) ) Man möge mich korrigieren, sofern ich mich irre. Dunstkreis 21:42, 1. Feb. 2007 (CET)

Löschung des Beispiels

Leider ist/war das Beispiel nicht richtig. Wildschweine sind keine Vektoren, und auch nicht Differenzierbar (Da zimlich grob gequantelt). Daraus ergeben sich Probleme: Wie willst du es darstellen wenn zu beginn ein Wildschwein im Wald war? (dies kann in einem Vektorfeld nicht dargestellt werden, da Wildschweine nicht über richtung und Länge (oder irgendeine Stärke) definier werden, sondern ein Skalar sind (1 Wildschwein, 2 Ws meinetwegen noch 2,14231 aber definitiv keine 2 Wildschweine 45° zum Koordinatensystem geneigt...). Außerdem wie genau will er die Quellenfreiheit beweisen, wenn er nicht in den Wald geht? ("Früher mal" geschaut? - lese weiter.)Nun falls gemeint war er geht außen rum, bestimmt den Fluss und errechnetund bestimmt das Volumenintegral der Divergenz, so ist es möglich das z.b. 1 Quelle und 1 Senke im Wald sind. Dann ist das Ergebnis FALSCH: Es gibt eine Quelle. In dieser Quelle entsteht ein Wildschewein (oder ein Teil...) dieses Wildschwein begibt sich jetzt zur senke um vernichtet zu werden. Wärend es das tut gibt es also tatsächlich ein Wildschwein, entgegen der Forderung. Falls wir die also die Quellenfreiheit nachgewiesen haben indem wir das Volumenintegral der Divergenz (durch abgehen des Waldes) besimmt haben, und dann den Fluss messen, und Wildschweine in ein Vektorielles Kontinuum verwandeln (lol, die Vorstellung), so hat das ganze Ergebnis nichts gebracht: Mit dem Satz von Gauß haben wir: Die Summe des (Zu/Ab)Flusses ist gleich der Summe aller entstandenen und vernichteten Wildschweine. Wie viele Wildschweine im Wald sind, das sagt uns der Satz von Gauß nicht (kommt nichtmal vor!). Winfachstes Beispiel: Es war die ganze zeit ein Wildschwein im Wald.(Da es keine Senke gibt, kann es nicht sterben...) Setzen wir auch das vorraus, dann ist das Beispiel genau eine Plus/Minus Aufgabe: Wildschweine die reingehen - Wildschweine die rausgehen = Wildschweine drinnnen. Das hat mit dem Satz von Gauß so viel zu tuen wie mit der Navier-Stoks-Gleichung für kompressible Fluide bei reibungsfreihen, kontinuierlichen, unsterblichen, kompressiblen Wildschweinen (genau die Gleichen annahmen wie in dem Beispiel.) oder mit jedem anderem Erhaltungssatz. -> Beispiel entfehrt und ersetzt, weil absoluter Bullshit.

altes Beispiel:

Ein bildhaftes Anwendungsbeispiel des gaußschen Integralsatzes ist der mathematisch versierte Jäger auf einer Wildschweinjagd: Um festzustellen, ob sich in einem freistehenden Wäldchen noch Wildschweine befinden, wird er nicht in das Wäldchen hineinlaufen und die Tiere aufscheuchen, sondern er zählt die herausführenden und die hineinführenden Spuren. Vorausgesetzt wir haben mit fehlenden alten Spuren eine „Wildschweinquellfreiheit“ im Gebiet (Unterraum) „Wäldchen“ sichergestellt, dann weiß er durch Differenzbildung, wie viele Wildschweine sich noch in dem Wäldchen befinden.

(nicht signierter Beitrag von 141.84.69.20 (Diskussion) 09:03, 20. Jul 2012 (CEST))

Zustimmung: Wenn der Jäger Quellenfreiheit annimmt (und dass sich die Wildschweine gemäß des Gaußschen Satzes verhalten), muss er die heraus- und hineinführenden Spuren gar nicht zählen, die müssen sich dann ja aufheben. -- HilberTraum (Diskussion) 20:41, 20. Jul. 2012 (CEST)

R3

M. E. würde es das Verständnis erleichtern, wenn der Satz erst im dreidimensionalen reellen Raum erklärt würde, mit späterer Verallgemeinerung. Begriffserklärungen sollten vom Speziellen zum Allgemeinen fortschreiten, nicht umgekehrt. --Hanfried.lenz 16:51, 17. Nov. 2007 (CET).

Grundsätzlich stimme ich dem Prinzip zu. In diesem Fall ist es aber so, dass der Satz im dreidimensionalen Raum genau gleich aussieht. Nur dass dann $\mathbb {R} ^{3}$ steht, wo im allgemeinen Fall $\mathbb {R} ^{n}$ steht. Und die Beispiele beziehen sich ja alle auf den dreidimensionalen Fall. --Digamma 19:10, 17. Nov. 2007 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --92.203.97.107 19:10, 19. Apr. 2012 (CEST)

Varianten, Punkt 3

Der dritte Fall im Abschnitt "Varianten" kann doch so nicht hinhauen, oder? Auf der linken Seite steht das Integral über $\nabla f$, was ein Vektor ist, auf der rechten Seite ein (Oberflächen)Integral über $f$, was ein Skalar ist. Meiner Meinung nach müsste das eher so aussehen:

$\int _{V}\nabla f\cdot {\vec {1}}\,dV=\oint _{S}f\,d{\vec {S}}$

wobei dann ${\vec {1}}$ der Vektor mit lauter Einsen wäre. --130.73.20.243 16:02, 7. Mai 2009 (CEST)

Ich habe jetzt auch etwas gebraucht, um es zu verstehen: f in der Formel ist das Produkt der skalaren Funktion f im erklärenden Text mit einem Vektor. Zumindest ist es denke ich so gemeint? --P. Birken 20:46, 8. Mai 2009 (CEST)

Weitaus komischer finde ich, dass $\int fd{\vec {S}}$ vektorwertig ist...? -- Pberndt _(DS) 23:36, 3. Feb. 2010 (CET)

Ich habe jetzt den 1-Vektor dann doch mal zur Erklärung eingefügt. Allerdings frage ich mich mittlerweile, wofür dieses Beispiel eigentlich so wichtig ist? --P. Birken 17:08, 6. Feb. 2010 (CET)

Ist mir immer noch nicht klar bzw. glaube ich so immer noch falsch. Wenn ich „den Gaußsatz auf ${\vec {e}}\cdot f$ anwende“ komme ich auf:

$\int _{\Omega }\operatorname {div} ({\vec {e}}\cdot f)d{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}e_{i}\int _{\Omega }{\frac {\partial f({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}d{\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}\int _{\partial \Omega }f~e_{i}\cdot \nu _{i}~d\sigma ({\vec {x}})$ mit ν äußere Normale an Ω und σ dem passenden Maß

anstatt dem, was da steht. In der Notation des Artikels wäre das

$\int _{V}\nabla f\cdot {\vec {1}}dV=\oint _{S}f{\vec {1}}\cdot d{\vec {S}}$

Soll es in dem Beispiel eventuell darum gehen, dass der Divergenzsatz den Hauptsatz verallgemeinert? -- Pberndt _(DS) 18:24, 6. Feb. 2010 (CET)

Sorry, da fehlt noch ein Punkt. Jetzt ist der Artikel korrekt, falls es das ist was mit dem Beispiel gemeint ist. Was meinst du? Die Analogie zum Hauptsatz wird aus dem Beispiel ohne Erklärung IMHO nicht ganz deutlich. Aber vielleicht sollte man das mal ausarbeiten? --P. Birken 19:08, 6. Feb. 2010 (CET)

Stimmt. Vielleicht, wenn wir statt des Eins-Vektors einen Einheitsvektor x_i nehmen und einen Quader als Gebiet? Dann hat man ja (fast) die eindimensionale Version da stehen. -- Pberndt _(DS) 19:14, 6. Feb. 2010 (CET)

Oder man nimmt direkt den eindimensionalen Fall, wo Divergenz und Ableitung zusammenfallen und erklärt dann, dass die Randintegrale das Analogon zur Auswertung an den Intervallgrenzen der Stammfunktion sind? --P. Birken 19:18, 6. Feb. 2010 (CET)

Noch besser. -- Pberndt _(DS) 19:45, 6. Feb. 2010 (CET)

Ich habs mal probiert. --P. Birken 18:18, 7. Feb. 2010 (CET)

(Ich hab mal eine Zwischenüberschrift eingefügt.) Ich stoße gerade eben erst auf diese Diskussion. Wenn ich mich nicht täusche, dann bezieht sie sich auf folgende frühere Formulierung:

Wendet man den gaußschen Integralsatz auf das Produkt einer skalaren Funktion f mit einem konstanten Vektor an, dann erhält man die folgende Identität:

$\int _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\oint _{S}f\,\mathrm {d} {\vec {S}}$

Hier stehen auf beiden Seiten Vektoren. Schreibt man die Komponenten einzeln hin, so erhält man

$\int _{V}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\oint _{S}fn_{i}\,\mathrm {d} S$

bzw.

$\int _{V}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\oint _{S}f{\vec {e}}_{i}\,\mathrm {d} {\vec {S}},$

wobei $e_{i}$ der $i$-te Vektor der Standardbasis ist und $n_{i}$ die $i$-te Komponente des Normalenvektors ${\vec {n}}$.

In dieser Form ist mir die Aussage durchaus schon begegnet. Meines Wissens gibt es durchaus Anwendungen dafür. Es ist nicht einfach das gleiche wie der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.-- Digamma 18:14, 2. Jul. 2010 (CEST)

Ah, OK. Fällt Dir eine Anwendung dafür ein? Dann kann mans ja wieder in den Artikel packen. --P. Birken 15:43, 4. Jul. 2010 (CEST)

Leider nein. Ich glaube, das war vor Jahren in einer Vorlesung über partielle Differentialgleichungen. Aber genaueres weiß ich nicht mehr. Ich weiß nur noch, dass mir damals diese ungewöhnliche Version des Gaußschen Integralsatzes auffiel. Ich würde es aber trotzdem wieder in den Artikel packen.

Womit ich aber gar nichts anfangen kann, das ist die 4. Variante mit dem Kreuzprodukt. -- Digamma 17:13, 4. Jul. 2010 (CEST)

Da hast Du nen Punkt: Keine Ahnung was das heißen soll, wobei die Schreibweise des allerletzten Integrals zeigt (ds vor Argument), dass hier Physikernotation verwendet wird. --P. Birken 18:11, 4. Jul. 2010 (CEST)

Allem Anschein nach hat der Autor das direkt aus der englischen Version übernommen. -- Digamma 18:47, 4. Jul. 2010 (CEST)

Mich erinnert die Formel an den klassischen stokeschen Integralsatzes: Im Randintegral taucht ν × F auf, was man vielleicht irgendwie als Linienelement an der Oberfläche interpretieren kann, im inneren die Rotation. Kenne ich so aber auch nicht. En hat Mathworld als Quelle dafür, dort wird das aber auch nur behauptet. -- Pberndt _(DS) 10:08, 5. Jul. 2010 (CEST)

Fehlerhafte Anwendungen

Flüssigkeiten, Gase, Elektrodynamik

Die Erhaltung von z.B. Energie hat nichts mit dem Gaußschen Satz zu tun. Der Gaußsche Satz würde auch dann für Energieströme gelten, wenn die Energie nicht erhalten wäre. Die Erhaltung von Energie wird vielmehr durch die Kontinuitätsgleichung ausgedrückt. Der Gaußsche Satz wird lediglich dazu verwendet, die differentielle Formulierung der Kontinuitätsgleichung in die integrale Formulierung überzuführen (und umgekehrt).

Gravitation

Das Oberflächenintegral hängt nicht davon ab wie die Masse innerhalb des Volumens verteilt ist. Außerdem ist es völlig unabhängig von Massen außerhalb des Volumens. Insbesondere müssen Massen weder innerhalb noch außerhalb des Volumens radialsymmetrisch verteilt sein.

Partielle Integration im Mehrdimensionalen

Die angegebene Formel ist eine simple Umstellung der Formel, die man erhält, wenn man den Gaußschen Satz auf $f{\vec {G}}$ anwendet, wie unter Folgerungen beschrieben. Vielleicht sollte man deswegen die "partielle Integration"-Interpretation besser dort erwähnen. Müsste man dann aber nicht auch

$\int _{V}\left({\vec {G}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {F}}\right)\right)\,\mathrm {d} V=\oint _{S}\left({\vec {F}}\times {\vec {G}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}+\int _{V}\left({\vec {F}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {G}}\right)\right)\,\mathrm {d} V$

als partielle Integration interpretieren? (Diese Formel ist eine Umstellung der Formel, die man erhält, wenn man den Gaußschen Satz auf ${\vec {F}}\times {\vec {G}}$ anwendet, wie ebenfalls unter Folgerungen beschrieben.) (nicht signierter Beitrag von Hjalmar3 (Diskussion | Beiträge) 21:37, 26. Okt. 2013 (CEST))

Malpunkt

Heute früh wurde der Überarbeiten-Baustein mit folgendem Text eingefügt:

„Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung: Malzeichen (oder Skalarprodukt?) vor "dS" und ähnlichem in Integralen ergibt keinen Sinn. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.“

Hierzu meine Antwort:

Der Malpunkt steht als Zeichen für das Skalarprodukt, soweit ich das überblicke, nur im Abschnitt "Folgerungen" vor dem Zeichen $\mathrm {d} {\vec {S}}$. Hierzu steht am Anfang des Abschnitts:

„Zur Vereinfachung wird die folgende Notation verwendet: $\mathrm {d} {\vec {S}}:={\vec {n}}\;\mathrm {d} ^{(n-1)}S$“

Das Zeichen für das Skalarprodukt bezieht sich also auf den Normalenvektor ${\vec {n}}$, nicht auf das Flächenelement $\mathrm {d} S$. Diese Schreibweise ist durchaus üblich. Ich entferne deshalb den Baustein wieder mit Verweis auf diesen Diskussionsbeitrag. --Digamma (Diskussion) 10:28, 29. Mai 2014 (CEST)