Diskussion:Multiplikatives Geschlecht

Vereinigung

Hallo! Was ist denn bei der Definition mit $\phi (X^{n}\cup Y^{n})$ gemeint? Das kann doch eigentlich nicht die normale Vereinigung sein (i. A. keine Mannigfaltigkeit), oder? Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 18:36, 15. Jun. 2014 (CEST)

Ohjeminie, dort gehört das Kartesische Produkt hin.--Christian1985 (Disk) 18:51, 15. Jun. 2014 (CEST)

Einleitung

• Ich würde eher von einer Invariante als von einem Objekt sprechen. ("Objekt" ist natürlich ein weiter Begriff, als Mathematiker denkt man aber doch an Objekte im Sinne der Kategorientheorie.)
• "Diese Objekte sind zentral bei der Definition des topologischen Index " motiviert eine Definition mit einer anderen, bei der sie verwendet wird. Der topologische Index an sich wäre wohl nicht weiter interessant gewesen; er wurde es erst, weil man mit seiner Hilfe den (anders schwer zu berechnenden) analytischen Index berechnen kann, dessen Berechnung wiederum ein natürliches Problem ist (Bestimmung der Dimension des Lösungsraums einer partiellen Differentialgleichung). Das steht ja auch alles schon in Atiyah-Singer-Indexsatz, aber jedenfalls würde ich die Einführung multiplikativer Geschlechter eher damit motivieren, dass man über die aus ihnen definierten topologischen Indizes den Fredholm-Index verschiedener Differentialoperatoren berechnen kann.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 08:19, 16. Jun. 2014 (CEST)

Was Einleitungen angeht, bin ich wirklich nicht so geschickt. Deine Anmerkungen sind alle berechtigt. Zur ersten Anmerkung will ich noch ergänzen, dass es auch ganz Allgemein den Begriff mathematisches Objekt gibt und ich den Leser mit dem Begriff Invariante nicht direkt im ersten Satz verjagen wollte. Möchtest Du Dich an einer Überarbeitung der Einleitung versuchen?--Christian1985 (Disk) 08:40, 16. Jun. 2014 (CEST)

Geschlecht einer multiplikativer Folge

Muß in den Formeln nicht jeweils $F_{k}$ statt $F_{n}$ stehen?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 08:28, 16. Jun. 2014 (CEST)

Die $F_{n}$ in der Formel sind schon richtig. Die Fundamentalklasse $[X]$, zu der wir unbedingt noch einen Artikel brauchen, ist ein Element der Homologieklasse $H_{n}(X)$, und $F_{n}$ ist entsprechend ein Element der Kohomologieklasse $H^{n}(X)$. Diese beiden Elemente kann man nun auf natürliche Weise miteinander paaren. Diese Paarung heißt, glaube ich, Kronecker-Paarung. Für $F_{k}$ mit $k<n$ würde das nicht funktionieren. Grüße--Christian1985 (Disk) 08:46, 16. Jun. 2014 (CEST)

Aber in den Beispielen ist doch $Td_{1}(c_{1})\in H^{2}$ und ${\widehat {A}}_{1}(p_{1})\in H^{4}$?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 08:49, 16. Jun. 2014 (CEST)

Hm... die $Td_{k}(c_{1},\ldots c_{k})$ sind keine multiplikativen Geschlecher, sondern erstmal nur Polynome in den Chern-Klassen. Das $n$. dieser Polynome gepaart mit Fundamentalklasse bestimmt dann das Todd-Geschlecht. Da die Fundamentalklasse eigentlich auch nur die Orientierung der Mannigfaltigkeit repärsentiert, bestimmt schon das $n$. Polynom bis auf Vorzeichen das Geschlecht. Wie kann ich das im Text besser formulieren?--Christian1985 (Disk) 09:00, 16. Jun. 2014 (CEST)

Ich meine nur: wenn man das ${\widehat {A}}$-Geschlecht einer 4-Mannigfaltigkeit berechnen will, dann ist das doch ein Vielfaches von $p_{1}$, man braucht also ${\widehat {A_{1}}}$ und nicht ${\widehat {A}}_{4}$. Allgemein erhält man durch Einsetzen der Pontrjaginklassen in $F_{k}$ immer eine Kohomologieklasse vom Grad 4k=n (weil die i-te Pontrjaginklasse ja Grad 4i hat). --Kamsa Hapnida (Diskussion) 14:51, 16. Jun. 2014 (CEST)

Ah, ja du hast Recht! Es steht falsch im Artikel. Man definiert nämlich $F(X)=\langle F_{k}(p_{1},\ldots ,p_{k}),[X]\rangle$, wobei $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension n = 4k ist. So steht es im Buch von Lawson und Michelson Seite 233.--Christian1985 (Disk) 15:30, 16. Jun. 2014 (CEST)

Elliptisches Geschlecht

Hätte man hier doch auch wie in der englischen wiki gleich mitbehandeln können.--Claude J (Diskussion) 13:52, 3. Dez. 2019 (CET)

Ich habe es un ergänzt. --Christian1985 (Disk) 17:57, 27. Mai 2020 (CEST)

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