Diskussion:Scipione del Ferro

Beispiellösung Rechenweg

Wie kommt man von $u={\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {108}}}}$ zum Ergebnis $u=1+{\sqrt {3}}$? Hier die Rechenschritte:

${\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {108}}}}$

${\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 3}}}}$

${\sqrt[{3}]{10+{\sqrt {2^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}}}\cdot {\sqrt {3}}}}$

${\sqrt[{3}]{10+2\cdot 3\cdot {\sqrt {3}}}}$

${\sqrt[{3}]{10+6{\sqrt {3}}}}$

Die nächsten Schritte sind etwas tricky. Deshalb will ich hier nur zeigen, dass man rückwärts vom Endergebnis $1+{\sqrt {3}}$ durch Umformung zu ${\sqrt[{3}]{10+6{\sqrt {3}}}}$ kommt:

$1+{\sqrt {3}}$

ist identisch mit der 3. Wurzel aus der 3. Potenz

${\sqrt[{3}]{(1+{\sqrt {3}})^{3}}}$

dann binomische Formel ausmultiplizieren nach der Formel $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

${\sqrt[{3}]{1^{3}+3\cdot 1^{2}\cdot {\sqrt {3}}+3\cdot 1\cdot ({\sqrt {3}})^{2}+({\sqrt {3}})^{3}}}$

und vereinfachen/zusammenfassen

${\sqrt[{3}]{1+3{\sqrt {3}}+3\cdot 3+({\sqrt {3}})^{2}\cdot {\sqrt {3}}}}$

${\sqrt[{3}]{1+3{\sqrt {3}}+9+3\cdot {\sqrt {3}}}}$

${\sqrt[{3}]{10+3{\sqrt {3}}+3{\sqrt {3}}}}$

${\sqrt[{3}]{10+6{\sqrt {3}}}}$

Fertig! --Bin im Garten (Diskussion) 12:41, 5. Nov. 2021 (CET)