Diskussion:Transformationssatz

"Beweis"

"Der Beweis läuft darauf hinaus Eigenschaften einer solchen Transformation zu zeigen, die mit denen übereinstimmen, die die Determinante eindeutig definieren" - was bedeutet das? --Juesch 23:04, 18. Dez 2004 (CET)

Das bedeutet, dass man im Verlaufe des Beweises alles darauf zurückführen kann, dass die Determinante durch ihre drei charakterisierenden Eigenschaften eindeutig bestimmt ist. Der Beweis selbst ist nicht so einfach zusammenfassbar. Roman 17:00, 26. Juni 2005 (CET)

Wie wäre es mit einem kurzen Umriss des Beweises? Ich weiß, der gesamte Beweis ist sehr lange, aber die Idee dabei wäre doch interessant.

Die Eingangs zitierte Formulierung ist jedoch an sich fragwürdig, impliziert sie doch es gäbe nur eine Möglichkeit dies zu beweisen. Dem scheint aber nicht so zu sein (siehe Heuser, Analysis 2). Desweiteren wäre es wünschenswert, wenn zumindest auf eine Quelle verwiesen werden würde, welche den Transformationssatz auch tatsächlich beweist. (Auch dies tut Heuser in seinem Buch) (nicht signierter Beitrag von 92.226.4.215 (Diskussion) 05:37, 22. Sep. 2014 (CEST))

Ich habe den Satz jetzt gestrichen. Wenn du eine Quelle für den Beweis angeben kannst (z.B. das Buch von Heuser besitzt), dann kannst du dies gerne einfügen. Wenn du das nicht direkt tun möchtest, kannst du die Quelle (mit genauer Seitenzahl) auch hier angeben, dann kann es jemand anders einfügen. --Digamma (Diskussion) 16:07, 22. Sep. 2014 (CEST)

Zwar habe ich meine Fassung des Lehrbuchs nicht zur Hand, jedoch ergibt Google Books (URL: http://books.google.de/books?id=zN7aCuj5t3AC&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false, Kapitel 205: Die Substitutionsregel), dass der besagte Beweis ab Seite 473 beginnt, wobei dort zunächst heuristisch das Problem dargelegt wird (und dort auch steht, dass man die zunächst anschauliche Herangehensweise vermöge einer Präzisierung zu einem Beweis ausbauen könnte, dieser Weg in dem Buch aber nicht gewählt wird. Dies nahm ich als Hinweis, dass es mindestens noch einen weiteren Weg gibt, diesen Satz zu beweisen) und anschließend der doch recht lange Beweis über mehrere Seiten folgt. Ab Seite 478 beginnt der eigentliche Beweis, der in mehrere Teilschritte zerlegt ist. (Ende des Beweises auf Seite 485) (nicht signierter Beitrag von 130.75.31.149 (Diskussion) 15:45, 23. Sep. 2014 (CEST))

Stetig differenzierbar

Hallo zusammen,

ich möchte nicht besserwisserisch wirken, aber zwei unnötige Voraussetzungen sind mir aufgefallen, die man eliminieren könnte.

1. Die Funktion $\Phi$ braucht nicht stetig differenzierbar zu sein, einfache Differenzierbarkeit reicht (ja sogar Lipschitz-Steitigkeit; Lipschitz-Funktionen sind fast-überall differenzierbar).

2. Es muss auch nicht $\det(D\Phi (x))\neq 0$ für alle x gelten. Vielmehr bilden die Stellen $\Phi (x)$, wo die Determinante verschwindet, eine Lebesgue-Nullmenge innerhalb der Bildmenge $\Phi (\Omega )$, sodass sich an beiden Integralen der Gleichung nichts ändert.

Darf ich diese beiden Punkte aus dem Artikel streichen?

Gruss --Robertp 3:47, 23. Nov. 2006 (CET)

Der Transformationssatz wird eigentlich immer fuer Diffeomorphismen angegeben. Den letzten Punkt habe ich mal korrigiert. --P. Birken 10:32, 23. Nov. 2006 (CET)

Allgemeinere Form

Die Aussage "lokal Lipschitz-stetig ==> Determinante beschränkt" (wie es aktuell im Artikel steht) kann so nicht stimmen.--88.64.71.235 18:34, 15. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe mal auf der rechten Seite ein "lokal" eingefügt. Die Behauptung lautet also jetzt "Funktionaldeterminante ist lokal beschränkt und lokal integrierbar". So müsste es richtig sein. Es geht darum, die lokale Aussage "stetig differenzierbar" abzuschwächen. Es ist keine globale Aussage intendiert. -- Digamma 10:52, 16. Aug. 2010 (CEST)

Formulierung des Satzes

Hier steht [...] $\Phi :\Omega \to \mathbb {R} ^{d}$ ein Diffeomorphismus. Damit wäre aber, aufgrund der Bijektivität, das Bild von $\Phi$ der ganze $\mathbb {R} ^{d}$, d.h. $\Phi (\Omega )=\mathrm {ran} \,\Phi =\mathbb {R} ^{d}$. $\Phi$ sollte eher ein Diffeomorphismus zwischen zwei offenen Mengen sein, z.B. in etwa so: Seinen $\Omega ,\,\Omega '\subset \mathbb {R} ^{d}$ zwei offene Mengen und $\Phi :\Omega \to \Omega '$ ein Diffeomorphismus. (nicht signierter Beitrag von TillTill (Diskussion | Beiträge) 11:28, 16. Sep. 2010 (CEST))

Klingt vernünftig. --Pberndt _(DS) 12:17, 16. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe es so eingebaut, werde aber wieder unsicher, weil im Folgenden immer von $\Phi (\Omega )$ die Rede ist und das meiner Meinung nach so auch sinnvoll ist. Gegenvorschlag:

... $\Phi \colon \Omega \to \Phi (\Omega )\subset \mathbb {R} ^{d}$ ein Diffeomorphismus...

ansonsten lassen, wie es vorher war. -- Digamma 18:04, 16. Sep. 2010 (CEST)

Auch gut, läuft doch auf's selbe hinaus. Aber simpler. --Pberndt _(DS) 20:02, 16. Sep. 2010 (CEST)

Ist $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ notwendig, oder kann allgemeiner auch $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ Verwendung finden? Beispielsweise bei der Transformation von Wahrscheinlichkeitsdichten wird der komplette $\mathbb {R} ^{d}$ benötigt. Das lässt sich dort auch anders lösen, allerdings stellt sich mir die Frage trotzdem. --2001:16B8:678B:E500:A00A:9659:F2F2:B882 12:05, 5. Apr. 2018 (CEST)

Das Teilmengenzeichen $\subset$ ist hier nicht als echte Teilmenge zu verstehen. Das Zeichen wird leider nicht einheitlich verwendet. Natürlich ist $\Omega =\mathbb {R} ^{d}$ möglich. --Digamma (Diskussion) 19:40, 5. Apr. 2018 (CEST)

Ich habe nun $\subset$ durch $\subseteq$ ersetzt. --Digamma (Diskussion) 19:44, 5. Apr. 2018 (CEST)

Betrag der Determinante?

Muß man von der Determinanten wirklich den Betrag verwenden? Ich hab mal ein paar Beispiele mit Orientierungswechsel gerechnet, d.h. die Determinante war da negativ (z.B. (x,y) -> (x,-y)). Die Ergebnisse haben nicht mit dem untransformierten Integral übereingestimmt.--Drizzle 21:34, 4. Okt. 2007 (CEST)

Ich stimme dem Vorredner zu. In der Differentialgeometrie gibt es einen ähnlichen Satz. Bei diesem kommt es aber massiv auf das Vorzeichen der Determinante an. Da man nach dem Einbettungssatz von Whitney jede Mannigfaltigkeit in den R^{2n+1} einbetten kann, kann man den diff.-geom. Satz ähnlich wie im 'normalen' Fall zeigen. Ich denke nicht, dass man einfach die Betragsstriche schreiben darf. Der Satz müsste nämlich auch in einer Dimension gelten. Man kann nun das Gegenbeispie y=x² nehmen, und von 0 bis 1 integrieren. Führt man nun die Trafo. x -> -x durch, dann hat man ein Problem, weil jetzt -1 statt 1 rauskommt. Aber -1 ungleich 1 (in R, aber nicht in Z modulo 2Z^^). Also stimmt das Gleichheitszeichen nicht. Im Forster habe ich übrigens die Betragsstriche auch so nicht gesehen. -> David Heider, M.Math. (AIA) (nicht signierter Beitrag von 93.199.158.116 (Diskussion) 15:10, 25. Jan. 2012‎)

Dein Beispiel: Setze $\phi (x)=-x$. Nach dem Transformationssatz ist

${\frac {1}{3}}=\int _{0}^{1}y^{2}dy=\int _{[0,1]}y^{2}dy=\int _{\phi ([-1,0])}y^{2}dy=\int _{[-1,0]}(-x)^{2}\xi dx=\int _{-1}^{0}(-x)^{2}\xi dx={\frac {1}{3}}\xi$.

und das ist richtig für $\xi =1$. Da aber $\det D\phi =-1$ muss auch in Deinem Beispiel der Betrag dort stehen. -- pberndt _(DS) 15:38, 25. Jan. 2012 (CET)

Du hast leider falsch gerechnet. Du musst entsprechend der Substitutionsregel (dies ist der eindimesionale Spezialfall des Transformationssatzes) nach Substitution die -1 als obere Grenze haben, weil -(-1) gemäß x -> -x gerade 1 ist und damit -1 die obere Grenze ist und Null die untere. Dann aber dreht sich gerade das Vorzeichen deiner Rechnung um, und du musst für xi -1 einsetzen. Die Formel im Artikel ist falsch, was recht traurig ist, da diese Formel fundamental für viele Anwendungen ist. (nicht signierter Beitrag von 92.226.4.215 (Diskussion) 05:37, 22. Sep. 2014 (CEST))

Nein, eben nicht. Beachte den Unterschied zwischen $\int _{\phi (-1)}^{\phi (0)}$ und $\int _{\phi ([-1,0])}$. Beim Transformationssatz kann man schlicht nicht von oberer und unterer Grenze sprechen, da er ja in beliebigen Dimensionen gilt und dort keine allgemein akzeptierte Ordnung definiert ist (außerdem besteht der Rand des Gebiets natürlich im Allgemeinen aus mehr als zwei Punkten), deshalb nimmt man das Bild des Integrationsgebiets unter der Transformation (anstelle des Bilds einzelner Randpunkte). --88.67.12.75 08:53, 2. Dez. 2014 (CET)

Beispiel erweitern

Hallo, ich denke man sollte das Beispiel etwas ausführlicher machen. Wovon wir ja eigentlich ausgehen ist das Integral $\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$. Die Frage ist nun, wie man auf den transformierten Integrationsbereich $\Omega =\mathbb {R} _{>0}\times (0,2\pi )$ gelangt, wenn man nur von den Transformationsgleichungen ausgeht. Das mag hier trivial aussehen, sollte aber mal vorgerechnet werden und nicht einfach vorweggenommen werden (wie man es hier bisher tut). Spätestens, wenn man z.B. elliptische Koordinaten verwendet ist das ganze nicht mehr direkt intuitiv sichtbar...PS: ich meine hier nicht das symbolische hinschreiben der Integrationsgrenzen, sondern wirklich das Ausrechnen, wie die transformierten Integrationsgrenzen auszusehen haben --141.58.44.202 15:00, 31. Dez. 2013 (CET)