In der Mathematik sind die Enden eines topologischen Raumes anschaulich gesprochen die Zusammenhangskomponenten des „Randes im Unendlichen“. Formal definiert werden sie als Äquivalenzklassen von Komplementen kompakter Mengen.

Definition

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Sei   ein (lokal zusammenhängender, zusammenhängender, lokal kompakter, Hausdorffscher) topologischer Raum.

Wir betrachten die Familie   aller absteigenden Folgen

 

zusammenhängender, offener Mengen mit kompaktem Rand, für die

 

gilt.

Auf   definieren wir eine Äquivalenzrelation   durch

 .

Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation   auf   heißen Enden des topologischen Raumes  .

Als Umgebungen eines Endes werden die offenen Mengen in der jeweiligen Äquivalenzklasse bezeichnet.

Charakterisierung über Komplemente von Kompakta

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(Specker, Raymond): Ein Raum hat mindestens   Enden, wenn es eine offene Menge mit kompaktem Abschluss gibt, deren Komplement   nicht relativ kompakte Zusammenhangskomponenten hat.

Fundamentalgruppe eines Endes

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Die Fundamentalgruppe eines Endes   wird definiert als der projektive Limes der Fundamentalgruppen der Umgebungen   des Endes  :

 .

Beispiele

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  • Die Zahlengerade   hat zwei Enden.
  • Für   hat der   ein Ende.
  • Sei   das Innere einer kompakten Mannigfaltigkeit   mit Rand  , also  . Dann entsprechen die Enden von   den Zusammenhangskomponenten von  .
 
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b
  • Sei   der Cayley-Graph einer nichtabelschen freien Gruppe. Dann hat   unendlich viele Enden, es gibt eine Bijektion der Menge der Enden auf eine Cantormenge.
  • Nach einem Satz von Freudenthal hat der Cayley-Graph einer Gruppe entweder unendlich viele oder höchstens 2 Enden.

Literatur

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  • Hughes, Bruce; Ranicki, Andrew: Ends of complexes. Cambridge Tracts in Mathematics, 123. Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57625-3
  • Freudenthal, Hans: Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Comment. Math. Helv. 17, (1945). 1–38. online (PDF; 3,0 MB)