Bei festem
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
meromorphe Funktion von
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}
Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit
R
e
x
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \,x>0}
R
e
y
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} \,y>0}
Substitution
u
=
t
1
−
t
{\displaystyle u={\tfrac {t}{1-t}}}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
=
2
∫
0
π
2
sin
2
y
−
1
(
t
)
cos
2
x
−
1
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&{}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}}\,\mathrm {d} t\\&{}=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2y-1}(t)\cos ^{2x-1}(t)\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang
x
=
k
{\displaystyle x=k}
y
=
k
{\displaystyle y=k}
ganze Zahlen
k
≤
0
{\displaystyle k\leq 0}
Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
transzendent ist.[ 1]
Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
⋅
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
wobei
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Gammafunktion bezeichnet.[ 2]
Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
u
=
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
⋅
∫
v
=
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
=
∫
v
=
0
∞
∫
u
=
0
∞
e
−
u
−
v
u
x
−
1
v
y
−
1
d
u
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}}
nun kann man die Variablen
u
=
z
t
{\displaystyle u=zt}
v
=
z
(
1
−
t
)
{\displaystyle v=z(1-t)}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
z
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
z
(
z
t
)
x
−
1
(
z
(
1
−
t
)
)
y
−
1
z
d
t
d
z
=
∫
z
=
0
∞
e
−
z
z
x
+
y
−
1
d
z
⋅
∫
t
=
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
=
Γ
(
x
+
y
)
⋅
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}
Teilt man nun beide Seiten durch
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \Gamma (x+y)}
Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},}
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},}
B
(
x
,
y
)
=
1
y
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
y
n
+
1
n
!
(
x
+
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}}
Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
B
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1
)
!
(
y
−
1
)
!
(
x
+
y
−
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}}
Die Ableitung ist gegeben durch
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
wobei
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
Digamma-Funktion ist.
Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:
B
(
x
,
1
−
x
)
=
π
csc
(
π
x
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)}
Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.
B
(
1
3
,
1
3
)
=
2
2
3
3
4
K
[
1
4
(
6
−
2
)
]
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]}
B
(
1
4
,
1
2
)
=
2
2
K
(
1
2
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)}
B
(
1
7
,
2
7
)
=
4
7
4
cos
(
π
14
)
K
[
1
8
(
3
2
−
14
)
]
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]}
B
(
3
8
,
3
8
)
=
4
8
4
(
2
−
1
)
K
(
2
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)}
B
(
2
15
,
8
15
)
=
3
3
/
4
5
5
/
12
sec
(
π
5
)
K
[
1
16
(
10
−
6
)
(
3
−
5
)
(
2
−
3
)
]
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]}
Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.
↑ Theodor Schneider : Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1] )↑ Emil Artin: The Gamma Function . S. 18–19 (plouffe.fr (Memento Originals Internet Archive 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be914aba3f788aa73ad45d7033e6fa572d1bafe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6065ee7ccc73205419cf6c32b9449e5d980c9420)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176c1f3f00d02bd587ab3b96339d0307fda202fa)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb10f97dcc8c18acf9b6fdd9c56ffe36adc352d)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4223218476610b88b74c2cfd01dcc3a200138e28)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e7ea3b9649bcd1018f69b3f17b5e68cd3e0062)