Exponentiales Objekt

Ein exponentiales Objekt (oder kurz Exponential) ist eine Verallgemeinerung der Funktionenräume in der Kategorientheorie. Kategorien, die alle endlichen Produkte und Exponentiale besitzen, nennt man kartesisch abgeschlossen.

Definition

Sei $\mathbf {K}$ eine Kategorie, $Z$ und $Y$ Objekte in $\mathbf {K}$. Weiter soll $\mathbf {K}$ alle binären Produkte mit $Y$ enthalten. Ein Objekt ${\textstyle Z^{Y}}$ zusammen mit einem Morphismus ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\rightarrow Z}$ wird Exponential genannt, falls für jedes Objekt $X$ mit Morphismus ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ ein eindeutiger Morphismus ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (genannt Transposition von $g$) existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Universal property of the exponential object

Diese eindeutige Zuweisung eines $\lambda g$ zu jedem $g$ erzeugt einen Isomorphismus ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Adjungierte Funktoren

Bezeichnet man bei festem Objekt $Y$ mit $(-\times Y)$ den Produktfunktor, der jedes Objekt $X$ auf $X\times Y$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, und mit $(-)^{Y}$ den Exponentialfunktor, der jedes Objekt $Z$ auf das exponentiale Objekt $Z^{Y}$ abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, so besagt obige Beziehung nichts anderes, als dass $(-\times Y)$ linksadjungiert zu $(-)^{Y}$ ist, in Zeichen

$(-\times Y)\dashv (-)^{Y}$.

Einzelnachweise

V

Kategorientheorie