Fahne (Mathematik)

Folge von Vektorräumen aufsteigender Dimension mit einer echten Teilmengenbeziehung

Als Fahne wird in der linearen Algebra eine Folge von Vektorräumen aufsteigender Dimension mit einer echten Teilmengenbeziehung bezeichnet. Der Name stammt daher, dass die ersten drei Vektorräume – Punkt, Gerade, Ebene – wie eine gewöhnliche Fahne angeordnet werden können.

Darstellung einer Vektorraumfolge in Form einer Fahne

Definition

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Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum   über einem Körper   ist eine endliche Folge   von Untervektorräumen von   mit   und  , so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

 

Ist   oder äquivalent dazu   für  , so spricht man von einer vollständigen Fahne. Manche Autoren beschäftigen sich nur mit vollständigen Fahnen und sprechen dann von Fahnen schlechthin.

Beispiele

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Ist   eine Basis von  , so ist durch

 

eine vollständige Fahne definiert. Das Datum der Fahne ist jedoch schwächer, verschiedene Basen können dieselbe Fahne erzeugen.

Typ von Fahnen

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Sind   und   zwei Fahnen, die aus derselben Anzahl von Unterräumen bestehen und für die

  für  

gilt, so sagt man, dass   und   denselben Typ haben. Die Typen von Fahnen sind durch die Partitionen der Zahl   bestimmt. Zwei Fahnen vom selben Typ gehen stets durch einen Automorphismus von   auseinander hervor.

Verwendung

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Ist   ein Endomorphismus von  , und gilt

  für alle  

so heißt die Fahne unter   invariant oder stabil. Ist die Fahne vollständig, so impliziert die Existenz einer invarianten Fahne, dass es eine Basis von   gibt, bezüglich der   durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird (Trigonalisierung). Für allgemeinere Fahnen ergibt sich eine Blockdreiecksform, die durch den Typ der Fahne bestimmt ist.

Verwandte Begriffe

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  • Die Menge aller Automorphismen von  , die eine gegebene Fahne stabilisieren, bildet eine parabolische Untergruppe von  .
  • Die Menge aller Fahnen eines Typs wird als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet. Da   transitiv auf der Menge aller Fahnen eines Typs operiert, lassen sich Fahnenmannigfaltigkeiten als homogene Räume von   darstellen.

Literatur

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