In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

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Ist   ein Ring und   ein (beidseitiges) Ideal von  , dann bildet die Menge   der Äquivalenzklassen modulo   mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

  •  
  •  

wobei   definiert ist als  .

Diesen Ring nennt man den Faktorring   modulo   oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

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  • Die Menge   aller ganzzahligen Vielfachen von   ist ein Ideal in  , und der Faktorring   ist der Restklassenring modulo  .
  • Ist   ein Polynom über einem kommutativen unitärem Ring  , dann ist die Menge   aller Polynom-Vielfachen von   ein Ideal im Polynomring  , und   ist der Faktorring   modulo  .
  • Betrachten wir das Polynom   über dem Körper   der reellen Zahlen, so ist der Faktorring   isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von   entspricht dabei der imaginären Einheit  .
Rechenbeispiele:
Das Polynom   liegt wegen   in derselben Äquivalenzklasse modulo   wie  .
Für das Produkt   ermitteln wir  

Eigenschaften

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  • Ist   ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal   genau dann ein Primideal, wenn   ein Integritätsring ist.
  • Ist   ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal   genau dann ein maximales Ideal, wenn   ein Körper ist.
  • Ist   ein Körper und   ein irreduzibles Polynom über  , dann ist   ein maximales Ideal in   und deshalb ist   ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von  , in dem   eine Nullstelle hat (die Restklasse von  ). Die Körpererweiterung   ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von   überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über   nicht-linearen irreduziblen Teilern von  , so erhält man schließlich einen Körper, in dem   in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von  .

Idealtheorie

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Sei   ein kommutativer Ring mit Einselement und   ein Ideal. Dann sind

  • die Ideale des Rings   genau die Ideale   von  , die   enthalten (also   )
  • die Primideale des Rings   genau die Primideale von  , die   enthalten
  • die Maximalideale des Rings   genau die Maximalideale von  , die   enthalten

Bemerkung

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Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur

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  • Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"