Fermi-Dirac-Integral

mathematische Funktion

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index definiert als

wobei die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F1/2

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Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral   berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen   sowie  , sodass  :

 

Näherung für F1/2

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Das Integral   lässt sich für verschiedene Wertebereiche von   näherungsweise lösen:

 

Der relative Fehler dieser Näherungslösung   beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei   und bei  ). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich   durch zwei Funktionen annähern:

    für    
    für    

Darstellung mit Polylogarithmen

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Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

 .

Wegen

 

folgt daraus

 .
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Literatur

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  • J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.