Finsler-Mannigfaltigkeit

Geometrisches Objekte aus der Differentialgeometrie

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

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Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit   mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion   so dass für alle   gilt:

  •   mit Gleichheit nur für  
  •   für alle  
  •  .

Hierbei bezeichnet   den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit   im Punkt   und   das Tangentialbündel von   also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls   für alle   gilt.

Beispiele

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  • Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten  : setze  .
  • Konvexe Mengen   mit der Hilbert-Metrik  : setze   für  .

Länge und Volumen

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Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve   ist definiert durch

 .

Die Volumenform einer  -dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei  ,   eine Basis von  ,   die duale Basis. Sei   das euklidische Volumen von  . Die Volumenform ist dann gegeben durch

 ,

wobei   das euklidische Volumen der Einheitskugel im   bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge   ist definiert durch  .

Literatur

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