Formale Ableitung

Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra

Die formale Ableitung ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Durch sie wird der Ableitungsbegriff aus der Analysis für Funktionen auf Polynome übertragen.

Da über einem Ring keine Zahl "zwischen" zwei Zahlen existiert, es also keinen Grenzwertbegriff gibt, kann der Differenzenquotient nicht sinnvoll definiert werden und somit existiert keine Ableitung im eigentlichen Sinne. Um das Konzept der Ableitung trotzdem nutzen zu können, wird diese für Polynome formal so definiert, dass die Faktorregel und die Potenzregel erfüllt sind.

Definition

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Sei   ein Ring und   bezeichne den Polynomring über   in einer Unbestimmten  . Für ein Polynom

 

ist die formale Ableitung   definiert als

 .

Eigenschaften

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  • Für die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung. Insbesondere gilt
  sowie
 
für alle   und alle  . Das heißt, die Abbildung
 
ist eine Derivation von  .
  • Liegt   in Linearfaktoren vor, das heißt  , wobei   die Nullstellen von   sind, so gilt für die Ableitung
 .

Anwendung

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Ist   ein Körper, so ist   ein euklidischer Ring (insbesondere faktoriell), wobei   als euklidische Norm dient, wenn   die Koeffizienten von   bezeichnet. Die Nullstellen des ggT von   und   sind gerade die Mehrfachnullstellen von   mit einer um 1 erniedrigten Ordnung, wie folgende Rechnung zeigt:

Sei   eine Mehrfachnullstelle von  , dann gilt   mit einem Polynom   und einem  . Es folgt  , also  .

Literatur

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