Frobenius-Reziprozität

Frobenius-Reziprozität ist ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie. Er setzt induzierte Darstellungen und die Einschränkung von Darstellungen miteinander in Beziehung.

Die Frobenius-Reziprozität sagt uns einerseits, dass die Abbildungen ${\text{Res}}$ und ${\text{Ind}}$ adjungiert zueinander sind. Betrachten wir andererseits mit $W$ eine irreduzible Darstellung von $H$ und sei $V$ eine irreduzible Darstellung von $G,$ dann erhalten wir mit der Frobenius-Reziprozität außerdem, dass $W$ so oft in ${\text{Res}}(V)$ enthalten ist wie ${\text{Ind}}(W)$ in $V.$

Sie ist nach Ferdinand Georg Frobenius benannt.

Notation

Mit Hilfe der Einschränkung (engl.: restriction) kann man aus einer Darstellung $\phi$ einer Gruppe $G$ eine Darstellung ${\text{Res}}(\phi )$ einer Untergruppe $H$ erhalten. Umgekehrt kann man aus einer gegebenen Darstellung $\psi$ einer Untergruppe $H$ die sogenannte induzierte Darstellung ${\text{Ind}}(\psi )$ der ganzen Gruppe $G$ erhalten.

Für Darstellungen und ihre Charaktere wie auch allgemeiner für Klassenfunktionen ist ein Skalarprodukt definiert. Die allgemeine Form der Frobeniusreziprozität verwendet das Skalarprodukt von Klassenfunktionen.

Frobenius-Reziprozität

Sei $G$ eine endliche Gruppe und $H\subset G$ eine Untergruppe. Seien $\psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)$ $\varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ Klassenfunktionen, dann gilt

$\langle \psi ,{\text{Res}}\varphi \rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}\psi ,\varphi \rangle _{G}$

Die Aussage gilt insbesondere für das Skalarprodukt von Charakteren von Darstellungen.

Beweis

Da sich jede Klassenfunktion als Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lässt, und $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ eine Bilinearform ist, können wir ohne Einschränkung $\psi$ bzw. $\varphi$ als Charakter einer irreduziblen Darstellung von $H$ in $W$ bzw. von $G$ in $V$ annehmen. Wir setzen $\psi (s)=0$ für $s\in G\setminus H.$
Dann gilt:

${\begin{aligned}\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\text{Ind}}(\psi )(t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}{\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (s^{-1}ts)\varphi ((s^{-1}ts)^{-1})\\&={\frac {1}{|G|}}{\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end{aligned}}$

Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt.$\Box$

Alternativer Beweis

In der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung über die Gruppenalgebra, ist die Frobeniusreziprozität ein Spezialfall der Gleichung für den Wechsel zwischen Ringen:

${\text{Hom}}_{\mathbb {C} [H]}(W,U)={\text{Hom}}_{\mathbb {C} [G]}(\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,U).$

Diese Gleichung ist per definitionem äquivalent zu

$\langle W,{\text{Res}}(U)\rangle _{H}=\langle W,U\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(W),U\rangle _{G}.$

Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehörigen Charakteren übereinstimmt, folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen.$\Box$

Frobenius-Reziprozität für kompakte Gruppen

Die Frobenius-Reziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf $G$ gilt und die Untergruppe $H$ abgeschlossen sein muss.

Weblinks

• Frobenius reciprocity (nLab)