Gieseking-Konstante

mathematische Konstante

Die Gieseking-Konstante ist eine mathematische Konstante, die das maximale Volumen hyperbolischer Tetraeder angibt.[1][2] Sie ist nach Hugo Gieseking (1887–1915) benannt, der 1912 aus einem solchen Tetraeder durch Verschmelzung von Seitenflächen die Gieseking-Mannigfaltigkeit konstruierte.[3] Colin Adams konnte 1987 nachweisen, dass die Gieseking-Mannigfaltigkeit die eindeutige nichtkompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit minimalem Volumen ist.[4] Die Gieseking-Konstante wird nach Nikolai Lobatschewski auch Lobatschewski-Konstante genannt.[5]

Definition

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Die Gieseking-Konstante ist definiert als

 

(siehe die Folge A143298 in OEIS).

Die Gieseking-Konstante kann auch über eine Reihenentwicklung definiert werden:

 .

Beide Definitionen sind zueinander identisch.

Weitere Darstellungen

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Funktionaldarstellungen

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Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind

 ,

wobei   die Clausen-Funktion ist,

 ,

wobei   der (klassische) Dilogarithmus ist,

 ,

wobei   der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist,

 ,

wobei   die Lobatschewski-Funktion ist, und

 ,

wobei   die Trigamma-Funktion ist.

Integraldarstellungen

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Folgendes Integral entsteht durch Substitution aus der gezeigten Integraldefinition:

 

Durch weitere Substitution entsteht die nun folgende Identität:

 

Dieses Integral resultiert aus der Definition der Gieseking-Konstante über ihre Reihenentwicklung:

 

Eine weitere Integraldarstellung kann mit Hilfe der sogenannten Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:

 

Summendarstellungen

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Mit den Mittleren Binomialkoeffizienten kann folgende Summenreihe über die Gieseking-Konstante aufgestellt werden:

 

So ist der Mittlere Binomialkoeffizient definiert:

 
 

Die beiden nun genannten Formeln stimmen miteinander überein.

Literatur

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  • Colin C. Adams: The newest inductee in the number hall of fame, Mathematics Magazine 71, Dezember 1998, S. 341–349 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 233 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)
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Einzelnachweise

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  1. Adams: The newest inductee in the number hall of fame. 1998 (englisch)
  2. John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years. In: Bulletin of the AMS, 6, Januar 1982, S. 9–24 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „This works out as 1.0149416....“ auf S. 20)
  3. Hugo Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen. L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster; mit Lebenslauf bis 1911; Jahrbuch-Rezension)
  4. Colin C. Adams: The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume. In: Proceedings of the AMS, 100, August 1987, S. 601–606 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „v = 1.01494....“ auf S. 602)
  5. Steven R. Finch: Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds. (Memento vom 19. September 2015 im Internet Archive; PDF; 366 kB) 5. September 2004, S. 4 (englisch)